解答$\dfrac{\,8\,}{3}\pi\rm(\,cm^3\,)$

できた立体は「半円（図1）」から「円すい（図2）」をくり抜いたものです。

その体積は

$\begin{eqnarray}
\dfrac{\,4\,}{3}\pi\times 2^3\times \color{red}\dfrac{\,1\,}{2} \color{black} \;-\;\dfrac{\,1\,}{3} \times \pi \times 2^2 \times 2 &=& \dfrac{\,16\,}{3}\pi \;-\; \dfrac{\,8\,}{3}\pi \\[5pt] &=& \dfrac{\,8\,}{3}\pi \;\; \rm(\;cm^3\;) \end{eqnarray}$

解答$12\;$回

(1) の (ア)，(イ) から，A さんがじゃんけんに勝った回数を $x$ 回とするとき，ゲームを $20$ 回行った後のそれぞれの段数は，

A さん ： $2x+20$（段）

B さん ： $-2x+60$（段）

です。その時，A さんが B さんよりも $8$ 段上にいたとすると，

A さんの段数 $-$ B さんの段数 $=\,8$

よって，次の方程式を立てることができます。

$(2x+20)-(-2x+60)=8$

この方程式を解いて，

$\begin{eqnarray}
(2x+20)-(-2x+60) &=& 8\\[3pt]
2x+20+2x-60&=& 8\\[3pt]
4x-40&=& 8\\[3pt]
4x&=&48\\[3pt]
x&=& 12\end{eqnarray}$

したがって，A さんがじゃんけんに勝った回数は $12$ 回です。

解答ア$\;\;12000\quad$イ$\;\;18000$

〔 ア 〕

$x=10$ すなわち $10$ 秒後，

シャッターの PQ は $12 \times 10=120\;(\rm cm)$ 動いていて，

カーテンの RS は $10 \times 10=100\;(\rm cm)$ 動いています（下図）。

※ カーテンはちょうど全開状態になります。

よって，外が見える部分の面積は，

$120 \times 100=12000 \; (\rm cm^2)$

したがって，ア に当てはまる数は $12000$

〔 イ 〕

$x=15$ すなわち $15$ 秒後，

シャッターの PQ は $12 \times 15=180\;(\rm cm)$ 動いていて，

カーテンの RS は $100\;(\rm cm)$ 動いた後，止まっています（下図）。

※ シャッターはちょうど全開状態になり，カーテンは $10$ 秒以降全開状態のままです。

よって，外が見える部分の面積は，

$180 \times 100=18000 \; (\rm cm^2)$

したがって，イ に当てはまる数は $18000$

解答(ア)$\;\;y=120x^2\;\;$，(イ)$\;\;y=1200x\;\;$

(ア)$0≦x≦10$ のとき

シャッターとカーテンはどちらも動いています（下図）。

面積 $y\;(\rm cm^2)$ は，縦 $12x\;(\rm cm)，$ 横 $10x\;(\rm cm)$ の長方形の面積です。

$\begin{eqnarray}
y&=& 12x \times 10x \\[3pt] &=& 120x^2\quad(\,0≦x≦10\,)\end{eqnarray}$

(イ)$10≦x≦15$ のとき

$10≦x≦15$ の範囲では，シャッターだけが動いています（下図）。

面積 $y\;(\rm cm^2)$ は，縦 $12x\;(\rm cm)，$ 横 $100\;(\rm cm)$ の長方形の面積です。

$\begin{eqnarray}
y&=& 12x \times 100 \\[3pt] &=& 1200x\quad(\,10≦x≦15\,)\end{eqnarray}$

解答

$0≦x≦10$ では，放物線 $\;\;y=120x^2$

$10≦x≦15$ では，直線 $\;\;y=1200x$

解答$7.5$ 秒

以下「窓から外が見える部分の面積」を「見える面積」，
「窓から外が見える部分以外の面積」を「見えない面積」と表します。

窓の面積は，$180 \times 100=18000\;(\rm cm^2)$ なので，

見える面積と見えない面積の比が $1$：$5$ になるのは，見える面積が

$18000 \times \dfrac{1}{\,1+5\,}=3000\;(\rm cm^2)$

になるときです。

また，見える面積と見えない面積の比が $5$：$1$ になるのは，見える面積が

$18000 \times \dfrac{5}{\,1+5\,}=15000\;(\rm cm^2)$

になるときです。

よって，見える面積と見えない面積の比が $1$：$5$ から $5$：$1$ になるまでの時間とは，

見える面積 $( y )$ が $3000\;(\rm cm^2)$ から $1500\; (\rm cm^2)$ になるまでの時間です。

(3) でかいたグラフから（下図），

見える面積が $3000 \; (\rm cm^2)$ になるのは，$0≦x≦10$ の範囲なので，

$y=120x^2$ に $y=3000$ を代入して，

$\begin{eqnarray}3000&=&120x^2\\[3pt]x^2&=&25\\[3pt]x&=&\pm 5\end{eqnarray}$

$0≦x≦10$ だから，$x=5 \; \cdots \;①$

(3) でかいたグラフから（下図），

見える面積が $15000 \; (\rm cm^2)$ になるのは，$10≦x≦15$ の範囲なので，

$y=1200x$ に $y=15000$ を代入して，

$\begin{eqnarray}15000&=&1200x\\[5pt]x&=&\dfrac{\,25\,}{2}\\[5pt]&=&12.5\; \cdots \;②\end{eqnarray}$

①，② から，見える面積と見えない面積の比が $1$：$5$ から $5$：$1$ になるまでの時間は，

$12.5-5=7.5$（秒間）

解答$3\sqrt{3\,}\;\rm cm^2$

【 補 足 】

上の解法では，線分 AH を「頂点 A から底辺 BC へ下ろした垂線」としていますが，もちろん「∠BAC の二等分線」としても良いです。

この場合，教科書にある二等辺三角形に関する定理から「直線 AH は底辺 BC を垂直に二等分する」ので，作図と同時に∠BAH＝30°，∠AHB = 90°，BH＝3 (cm) が得られますが，ここではその定理を使わなくても解くことができる解法を解説しました。

解答$\dfrac{\,12 \sqrt{3\,}\,}{\;7\;}\;\;\rm cm^2$

解答$16\;$番目

$x$ 番目の正方形まで作ることができるとします。

白色または灰色の多い方の枚数が $150$ 枚以内で最も多くなる $x$ の値を求めます。

多い方の枚数は $\dfrac {\,x^2+x\,}{2}=\dfrac {\,x(x+1)\,}{2}$ （枚）なので，

$\begin{eqnarray} \dfrac {\,x^2+x\,}{2}&=&150 \\[4pt] x(x+1)&=&300 \end{eqnarray}$

として考えます。この $2$ 次方程式 を満たす整数の解はないので，

$16 \times 17 = 272$

$17 \times 18 = 306$

と調べると，条件を満たす $x$ の最大の値は $16$ であると分かります。

よって，$16$ 番目の正方形まで作ることができます。

〔 不等式について 〕

上の解法では，多い方の枚数が $150$ 枚以下であることを，

$\begin{eqnarray} \dfrac {\,x^2+x\,}{2}&=&150 \\[4pt] x(x+1)&=&300 \end{eqnarray}$

のように，等式（方程式）にして考えていますが，これは中学の数学では次のような「不等式の計算方法」を学習しないからです。

$\dfrac {\,x^2+x\,}{2} \leqq150$

不等式の計算は高校の「数Ⅰ」で学習します。

解答$120°$

【解法１】

【解法２】

解答$8$

(2) から，連続する $3$ つの自然数のそれぞれの $2$ 乗の和は

$3x^2+6x+5$

です。これが $245$ であるとき，次の方程式ができます。

$3x^2+6x+5=245$

方程式を解きます。

$\begin{eqnarray}
3x^2+6x+5 &=& 245\\[3pt]
3x^2+6x-240&=& 0\\[3pt]
x^2+2x-80&=& 0\\[3pt]
\quad(\,x-8\,)(\,x+10\,)&=& 0\\[3pt]
x=8,\;x=-10\end{eqnarray}$

$x$ は自然数だから$\;\; x=8$

解答ア$\;\;600\quad$イ$\;\;300$

〔 ア 〕

$0≦x≦5$ の範囲では A のみを使い，電力量は毎時間一定の割合で消費され（減少し）ます。

問題文から，A は $8$ 時間で $1600 \rm \; Wh$ の電力量を消費するので，

A が $1$ 時間に消費する電力量は $1600 \div 8=200 \rm \; (Wh)$

よって，A が $5$ 時間で消費する電力量は $200 \times 5=1000\rm \; (Wh)$

したがって，ア に当てはまる数は $1600-1000=600$

〔 イ 〕

$5≦x≦13$ の範囲では B のみを使い，電力量は毎時間一定の割合で消費されます。

上で求めた通り，$5$ 時間後には $600 \rm \; Wh$ 残っており，これが $13$ 時間後に $0 \rm \; Wh$ になります。

つまり B は $(\,13-5=\,)\;8$ 時間で $600 \rm \; Wh$ の電力量を消費するので，

B が $1$ 時間に消費する電力量は $600 \div 8=75 \rm \; (Wh)$

$5$ 時間後から $9$ 時間後までは $(\,9-5=\,)\;4$ 時間で，
その間に消費される電力量は $75 \times 4=300 \rm \; (Wh)$

よって，イ に当てはまる数は $600-300=300$

解答(ア)$\;\;y=-200x+1600\;\;$，(イ)$\;\;y=-75x+975\;\;$

(ア)$0≦x≦5$ のとき

$0≦x≦5$ の範囲では，消費する（減少する）電力量は一定なので，

蓄電池の残量 ($y$) は，使い始めてからの時間 ($x$) の $1$ 次関数になります。

よって，$x$ と $y$ の関係は $y=ax+b$ で表されます。

$\begin{array}{c|ccc}\;\;x &\; 0 & \cdots & 5\;\;\, \\ \hline \;\;y & \;1600 & \cdots & 600\;\; \ \end{array}$

表から変化の割合（$a$）を求めます。

$a=\dfrac{\;600-1600\;}{5-0}=\dfrac{\;-1000\;}{5}=-200$

よって，求める式は $\;y=-200x+b\;$ となり，この式に $x=0$，$y=1600$ を代入して，

$1600=-200 \times 0 +b$
$\quad \;\; b=1600$

したがって，求める式は，

$y=-200x+1600$ $\;(\,0≦x≦5\,) $

(イ)$5≦x≦13$ のとき

$5≦x≦13$ の範囲では，消費する（減少する）電力量は一定なので，

蓄電池の残量 ($y$) は，使い始めてからの時間 ($x$) の $1$ 次関数になります。

よって，$x$ と $y$ の関係は $y=ax+b$ で表されます。

$\begin{array}{c|ccc}\;\;x &\; 5 & \cdots & 13\;\;\, \\ \hline \;\;y & \;600 & \cdots & 0\;\; \ \end{array}$

表から変化の割合（$a$）を求めます。

$a=\dfrac{\;0-600\;}{13-5}=\dfrac{\;-600\;}{8}=-75$

よって，求める式は $\;y=-75x+b\;$ となり，この式に $x=13$，$y=0$ を代入して，

$0=-75 \times 13 +b$
$b=975$

したがって，求める式は，

$y=-75x+975$ $\;(\,5≦x≦13\,) $

解答

$0≦x≦5$ では，直線 $\;\;y=-200x+1600$

$5≦x≦13$ では，直線 $\;\;y=-75x+975$

解答$24$ 秒後

問題文の「A，B を合計 $11$ 時間は使う必要がある」とは，
「A，B を合計 $11$ 時間以上使う必要がある」という意味です。

いつ 切り換えても B の $1$ 時間に消費する電力量（グラフの傾きは）は変わらないので

合計時間が短いほど A を使う時間は長くなります（下図）。

よって，A を使う時間をできる限り長くする場合の合計時間は $11$ 時間です。

解法１ 【 方程式で解く場合 】

A を使い始めてから $a$ 時間後に B に切り換えたとすると，B 使用時間は $(\,11-a\,)$ 時間です。

(1) から，A，B の $1$ 時間に消費する電力量はそれぞれ $200 \rm \; Wh$，$75 \rm \; Wh$ で，合計 $1600 \rm \; Wh$ を消費するので，

$\begin{eqnarray}200a+75(\,11-a\,)&=&1600\\[5pt]a&=&\dfrac{\;31\;}{\;5\;}\;(時間)\\[5pt]&=&6\;(時間)+\dfrac{\;1\;}{\;5\;}\;(時間)\\[5pt]&=&6\;(時間)+\;12\;(分)\end{eqnarray}$

よって，$6$ 時間 $12$ 分後です。

解法２ 【 関数で解く場合 】

A を B に切り換える前のグラフの式は，(2) から $\;\;y=-200x+1600\;\;$ です。

切り換えた後のグラフの傾きは，(2) から $-75$ なので，

$\;y=-75x+b\;$ に $\;x=11$，$y=0\;$ を代入して，

$0=-75 \times 11 +b$
$b=825$

よって，切り換えた後のグラフの式は $\;\;y=-75x+825\;\;$です。

切り換えた時間は，次の連立方程式から求めることができます。

$\begin{eqnarray}\;\;\left\{\begin{array}{l}\;y=-200ｘ+1600&\cdots①& \\[5pt]\;y=-75x+825 &\cdots②& \end{array}\right.\end{eqnarray}\;\;$

①，② から，

$\begin{eqnarray}-200x+1600&=&-75x+825\\[5pt]-125x&=&-775\\[5pt]x&=&\dfrac{\;31\;}{\;5\;}\;(時間)\\[5pt]&=&6\;(時間)+\dfrac{\;1\;}{\;5\;}\;(時間)\\[5pt]&=&6\;(時間)+\;12\;(分)\end{eqnarray}$

よって，$6$ 時間 $12$ 分後です。

解答$6\;\rm cm^2$

解答$\dfrac{\;21\;}{\;2\;}\;\;\rm cm^2$

解答$4\;$通り

$6$ は必ず白面が上になっているので，$1$ 〜 $5$ について考えればよい。

また、$1$，$5$ の組，$2$，$4$ の組はそれぞれ同じ面が上になっています。

したがって，$1$ $5$ の組 と $2$ $4$ の組 と $3$ の色について調べます。

$10$ 回の操作を行った後，$a$，$b$，$a+b$，$10-b$ それぞれが偶数または奇数になる組み合わせと，各カードの上になっている面の色は下の表のようになります。

$a+b$ と $10-b$ が偶数になるか奇数になるかは，$a$ と $b$ が偶数であるか奇数であるかで決まるので，上の表以外の組み合わせはありません。

よって，記録によってできる表は，全部で $4$ 通りです。

〔 記録によってできる表 〕

解答$6$

解答$x+7y$

解答$4\sqrt{\,3\,}$

解答$72\pi \;\rm cm^3$

解答$6x+8$（人）

『 参加者をテーブルごとに $6$ 人ずつ分けると，テーブルが不足し，8 人が座れない』

参加者の人数 $=$ テーブルに座れる人の数 ＋ 座れない人の数

なので，テーブルの台数を $x$ 台とすると，

テーブルに座れる人の数 $=6x$ (人)

となります。また，座れない人の数は $8$ 人なので，

参加者の人数 $=6x+8$（人）

となります。

解答$22$ 台

『 参加者をテーブルごとに $7$ 人ずつ分けると，テーブルは $2$ 台余るが，全ての参加者が $7$ 人ずつ座れる 』

参加者の人数 $=$ テーブルに座れる人の数

なので，テーブルの台数を $x$ 台とすると，参加者が座っているテーブルは $x-2$（台）で，そのすべてに $7$ 人ずつ座っているから，

参加者の人数 $=7(x-2)$（人）

となります。

また，(1) から，参加者の人数は $6x+8$（人）とも表せるので，参加者の人数について次の方程式を立てることができます。

$\begin{eqnarray}6x+8&=&7(x-2)\\[5pt]6x+8&=&7x-14\\[5pt]6x-7x&=&-14-8\\[5pt]x&=&22\end{eqnarray}$

よって，テーブルの台数は $22$ 台です。

さらに，（イ）のために，参加者の人数も求めておきます。
(1) で求めた式に，$x=22$ を代入して

参加者の人数 $=6\times 22+8=140$（人）

解答$14$ 台

$6$ 人のテーブルを $a$ 台，$7$ 人のテーブルを $b$ 台にするとします。

テーブルは全部で $22$ 台あるから，

$a+b=22$

$6$ 人のテーブルに座っている人は $6a$ 人，$7$ 人のテーブルに座っている人は $7b$ 人います。
また（ア）から，参加者は全部で $140$ 人いるので，

$6a+7b=140$

よって，次の連立方程式を立てることができます。

$\quad \begin{eqnarray}\;\;\left\{\begin{array}{l}\;a+b=22&\cdots①& \\[5pt]\;6a+7b=140 &\cdots②& \end{array}\right.\end{eqnarray}\;\;$

加減法で解きます。

$\begin{eqnarray}①\times 7\,\;\;\;\;\;\;\;\;7a+7b&=&154\\[3pt]②\,\;\;\;\;\;\;\;\; -) \;\;6a+7b&=&140\\[3pt]\hline a\;\;\;\;\;\;\;\;&=&14\end{eqnarray}$

よって，$6$ 人のテーブルは $14$ 台です。

解答$\dfrac{\,1\,}{\,2\,}$

$0≦x≦20$ の範囲では $x$ と $y$ の関係は $y=ax^2$ で表されます。
また，表から $x=20$ のとき $y=200$ です。

$y=ax^2$ に $x=20$，$y=200$ を代入すると，

$\begin{eqnarray}200&=&a \times 20^2\\[3pt]200&=&400a\\[3pt]a&=&\dfrac{1}{\;2\;}\end{eqnarray}$

解答(ア) $50\quad$(イ) $600$

(ア)$0≦x≦20$ のときを考えます。

(1) から $0≦x≦20$ の範囲では $x$ と $y$ の関係は $y=\dfrac{1}{\;2\;}x^2$ で表されます。

$y=\dfrac{1}{\;2\;}x^2$ に，$x=10$ を代入して，

$\begin{eqnarray}y&=&\dfrac{1}{\;2\;} \times 10^2\\[3pt]&=&\dfrac{1}{\;2\;} \times 100 \\[3pt] &=&50\,\rm (m)\end{eqnarray}$

(イ)$20≦x≦40$ のときを考えます。

問題文から $20≦x≦40$ の範囲では速さが一定です。表の値から速さを求めます。

$\begin{array}{c|ccc}\;\;x &\; 20 & \cdots & 30\;\, \\ \hline \;\;y & \;200 & \cdots & 400\; \ \end{array}$

速さは，$\dfrac{\;400-200\;}{\;30-20}=\dfrac{\;200\;}{10}=20 \; \rm (m/s)$

$30$ 秒から $40$ 秒の間の $10$ 秒間に進む距離は $20 \times 10 = 200\;\rm (m)$

よって，$40$ 秒のときの距離（イ）は

$30$ 秒のときの距離 $+\,200 \,\rm (m)=400+200=600\;\rm(m)$

$20≦x≦40$ の範囲では速さが一定なので， 移動距離は時間の $1$ 次関数になります。(3) で求める $1$ 次関数の式をここで求めれば，それを使って イ の値を求めることができます。

解答$y=20x-200$

問題文から $20≦x≦40$ の範囲では速さが一定なので， 移動距離は時間の $1$ 次関数になります。

よって，$x$ と $y$ の関係は $y=ax+b$ で表されます。

$\begin{array}{c|ccc}\;\;x &\; 20 & \cdots & 30\;\, \\ \hline \;\;y & \;200 & \cdots & 400\; \ \end{array}$

表から変化の割合（$a$）を求めます。

$a=\dfrac{\;400-200\;}{\;30-20}=\dfrac{\;200\;}{10}=20$

よって，求める式は $y=20x+b$ となり，
さらに，この式に $x=20$，$y=200$ を代入して，

$200=20 \times 20 +b$
$\quad \, b=-200$

したがって，求める式は，

$y=20x-200$ $\;(\,20≦x≦40\,) $

解答

$0≦x≦20$ では，放物線 $y=\dfrac{1}{\;2\;}x^2$

$20≦x≦40$ では，直線 $y=20x-200$

解答$24$ 秒後

太郎さんは電車と同時に走り始め，$10$ 秒後に電車の先頭に追い付かれました。
(2) で求めた通り，電車は $10$ 秒間で $50\;\rm m$ 進みます。
つまり，太郎さんは $10$ 秒間に $50\;\rm m$ 進む速さで走っていたことになります。

よって，太郎さんの走る速さは

$50 \div 10 =5$ ⇒ 秒速 $5\;\rm m$

です。

太郎さんが P 駅を出発してから $x$ 秒間に進んだ距離を $y\;\rm m$ とすると，$y$ は $x$ に比例し，$x$ と$y$ の関係は

$y=5x$

と表せます。

太郎さんの走る様子 $(\,y=5x\,)$ もグラフに書き込むと下のようになります。

太郎さんが電車に完全に追い越されたのは，

太郎さんと電車の先頭部分の間の距離が車両の長さ $(\,160 \rm \;m\,)$ と同じになったとき

です（下の図）。

$a$ 秒後の「太郎さんと電車の先頭部分の間の距離」を $t\;\rm m$ とします。

上のグラフから，$20$ 秒後までに $t=160$ になることはないので，$20≦a≦40$ の場合を考えます。

・電車について，$\quad \;\; x=a\;$ のとき $\;y=20a-200$

・太郎さんについて，$x=a\;$ のとき $\;y=5a$

よって，$x=a\;$ のとき，

$\begin{eqnarray}t&=&(\,20a-200\,)-5a\\[3pt]&=&15a-200 \end{eqnarray}$

$t=160\;$ のとき，

$\begin{eqnarray}160&=&15a-200\\[3pt]15a&=&360\\[3pt]a&=&24 \end{eqnarray}$

したがって，太郎さんが電車に完全に追い越されたのは，電車が P 駅を出発してから $24$ 秒後です。

解答$4\;$倍

解答$\dfrac{\;8\;}{\;3\;}$ 倍

解答$80\;$通り

解答ア$\;\;8$,$\quad$イ$\;\;5$,$\quad$ウ$\;\;3$,$\quad$エ$\;\;5$

解答$37\;$通り

解答$-3$

解答$4a$

解答$8-2\sqrt{\,15\,}$

解答

作図の手順

① コンパスを AB の半分より大きく開き，点 A を中心とする弧をかきます。

② ①と同様にして，点 B を中心とする弧をかき，交点P，Q をつくります。

③ 直線 PQ をかきます。

解答$25\,\rm cm^2$

$\rm A$ の底面は，周の長さが $20 \, \rm cm$ の正方形だから，その $1$ 辺の長さは，

$20 \div 4 = 5$$\,(\,\rm cm\,)$

よって，面積は，

$5 \times 5 = 25$$\,(\,\rm cm^2\,)$

解答$x(\,10-x\,)\,\rm cm^2$

$\rm B$ の底面は，周の長さが $20 \, \rm cm$ の長方形だから，

たての長さ $+$ 横の長さ $=20 \div 2$

$ = 10$$\,(\, \rm cm\,)$

よって，

横の長さ $=10-\;$たての長さ

たての長さを $x \, \rm cm$ とすると，

横の長さ $=10-x\;$

と表せます。

したがって，$\rm B$ の底面の面積は，

たての長さ $\times$ 横の長さ $= x \times (\,10-x\,)$

$ = x(\,10-x\,)$$\,(\, \rm cm^2\,)$

解答$2.5\,\rm cm$

問題は，「$\rm B$ いっぱいに入る水の体積」と「$\rm A$ の水面の高さが $30 \, \rm cm$ までに入る水の体積」が同じとき，$\rm B$ の底面(長方形)の短いほうの辺の長さを求めよ，ということです。

$\rm B$ の底面積は (2) から，$x(\,10-x\,)$$\,(\, \rm cm^2\,)$ だから，
「$\rm B$ いっぱいに入る水の体積」は，

$x(\,10-x\,) \times 40=40x(\,10-x\,)$$\,(\,\rm cm^3\,)$ ・・・①

$\rm A$ の底面積は (1) から，$25$$\,(\,\rm cm^2\,)$ だから，
「$\rm A$ の水面の高さが $30 \, \rm cm$ までに入る水の体積」は，

$25 \times 30 =750$$\,(\,\rm cm^3\,)$ ・・・②

① ＝ ② だから，

$\begin{eqnarray}40x(\,10-x\,)&=&750\\[5pt]4x^2-40x+75&=&0\\[5pt](\,2x\,)^2+(\,-5-15\,)\times 2x+(\,-5\,)\times (\,-15\,)&=&0\\[5pt](\,2x-5\,)(\,2x-15\,)&=&0\\[5pt]x=\dfrac{\;5\;}{\;2\;},\;x&=&\dfrac{\;15\;}{\;2\;}\end{eqnarray}$

$0＜x＜10$ だから，どちらも辺の長さとしては適していますが，求めるのは短い方の辺の長さ(下の補足説明)なので，

$x=\dfrac{\;5\;}{\;2\;}=2.5$$\,(\,\rm cm\,)$

補足説明

(2)から，$\rm B$ の底面は，周の長さが $20 \, \rm cm$ の長方形だから，

たての長さ $+$ 横の長さ $=10$$(\,\rm cm\,)$

よって，短い方の長さは，たての長さと横の長さの和の半分 $(5 \rm cm)$ より小さい値になります。

また，$2$ 次方程式 $4x^2-40x+75=0$ は，解の公式で解いても良いです。

$\begin{eqnarray}4x^2-40x+75&=&0\\[5pt]x&=&\dfrac{\;-(-40) \pm \sqrt{(-40)^2-4 \times 4 \times 75}\;}{\;2 \times 4\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;40 \pm \sqrt{1600-1200}\;}{\;8\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;10 \pm 5\;}{\;2\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;15\;}{\;2\;},\;\dfrac{\;5\;}{\;2\;}\end{eqnarray}$

解答分速 $600$ $\rm m$

表や図 $2$ から，モノレールは $8$ 分間で $4800$ $\rm m$ 走行することがわかります。

よって，その速さは，

$4800 \div 8=600$ $(\,\rm m \, /$分$\,)$

速さ $=$ 道のり $\div$ 時間

解答(ア) $y=-600x+4800\quad$(イ) $y=600x-9600$

(ア)$0≦x≦4$ のとき

グラフは下の図の赤い部分になり，$y$ は $x$ の $1$ 次関数であるといえます。

上の図から，$x$ と $y$ の変化の様子は次の表のようになります。

$\begin{array}{c|ccc}\;\;x &\; 0 & \cdots & 8\;\, \\ \hline \;\;y & \;4800 & \cdots & 0\; \ \end{array}$

$x$ と $y$ の関係を表す式を $y=ax+b$ と表すと，

$a=\dfrac{\;0-4800\;}{\;8-0}=\dfrac{\;-4800\;}{8}=-600$

よって，求める式は $y=-600x+b$ となり，
さらに，この式に $x=8$，$y=0$ を代入して，

$0=-600 \times 8 +b$
$b=4800$

したがって，求める式は，

$y=-600x+4800$ $\;(\,0≦x≦8\,) $

※ 図から，グラフの切片が $4800$ であることは明らかです。

(イ)$4≦x≦8$ のとき

グラフは下の図の赤い部分になり，$y$ は $x$ の $1$ 次関数であるといえます。

上の図から，$x$ と $y$ の変化の様子は次の表のようになります。

$\begin{array}{c|ccc}\;\;x &\; 16 & \cdots & 24\;\, \\ \hline \;\;y & \;0 & \cdots & 4800\; \ \end{array}$

$x$ と $y$ の関係を表す式を $y=ax+b$ と表すと，

$a=\dfrac{\;4800-0\;}{\;24-16}=\dfrac{\;4800\;}{8}=600$

よって，求める式は $y=600x+b$ となり，
さらに，この式に $x=16$，$y=0$ を代入して，

$0=600 \times 16 +b$
$b=-9600$

したがって，求める式は，

$y=600x-9600$ $\;(\,16≦x≦24\,) $

解答$7$ 分後

花子さんが $13$ 時に $\rm B$ 駅を出発してから $x$ 分後の，$\rm B$ 駅から花子さんのいる地点までの道のりを $y\;\rm m$ として，$x$ と $y$ の関係のグラフ（赤）を図 $2$ に加えました。

まず，花子さんのグラフについて，$y$ を $x$ の式で表します。

グラフから，$y$ は $x$ の $1$ 次関数であり，$x$ と $y$ の変化の様子は次の表のようになります。

$\begin{array}{c|ccc}\;\;x &\; 0 & \cdots & 56\;\, \\ \hline \;\;y & \;0 & \cdots & 4800\; \ \end{array}$

$x=0$ のとき $y=0$ だから， $x$ と $y$ の関係を表す式は $y=ax$ と表せます。

この式に $x=56$，$y=4800$ を代入して，

$4800=a \times 56$

$a=\dfrac{\;600\;}{7}$

求める式は，

$y=\dfrac{\;600\;}{7}x$ $\;(\,0≦x≦56\,) $

グラフから，花子さんが初めてすれ違うモノレールは，$13$ 時に $\rm A$ 駅を出発したものです。

そのモノレールについて，$x$ と $y$ の関係を表す式は，(2)の(ア)から，

$y=-600x+4800$ $\;(\,0≦x≦8\,) $

よって，花子さんが初めてモノレールとすれ違った時刻は，次の連立方程式から求めることができます。

$\begin{eqnarray}\;\;\left\{\begin{array}{l}\;y=\dfrac{\;600\;}{7}x&\cdots①& \\[5pt]\;y=-600x+4800 &\cdots②& \end{array}\right.\end{eqnarray}\;\;$

①の右辺 $=$ ②の右辺だから，

$\begin{eqnarray}\dfrac{\;600\;}{7}x&=&-600x+4800\\[5pt]x&=&7\end{eqnarray}$

$x=7$ を ① に代入して，

$\begin{eqnarray}y&=&\dfrac{\;600\;}{7} \times 7 \\[5pt]&=&600\end{eqnarray}$

したがって，花子さんが花子さんが初めてモノレールとすれ違った時刻は，$13$ 時 $7$ 分，つまり，モノレールが $13$ 時に $\rm A$ 駅を出発してから，$7$ 分後です。

また，花子さんが初めてモノレールとすれ違った場所は，$B$ 駅から $600\;\rm m$ 離れています。

解答$1000$ $\rm m$

(3)の(ア) から，

花子さんのグラフの式は$\;\; y=\dfrac{\;600\;}{7}x$ $\;(\,0≦x≦56\,)\;\;$です。

グラフから，花子さんが追い越されたモノレールは，$13$ 時 $16$ 分に $\rm B$ 駅を出発したものです。

そのモノレールについて，$x$ と $y$ の関係を表す式は，(2)の(イ)から，

$y=600x-9600$ $\;(\,16≦x≦24\,) $

よって，花子さんがモノレールに追い越された場所は，次の連立方程式から求めることができます。

$\begin{eqnarray}\;\;\left\{\begin{array}{l}\;y=\dfrac{\;600\;}{7}x&\cdots①& \\[5pt]\;y=600x-9600 &\cdots②& \end{array}\right.\end{eqnarray}\;\;$

①の右辺 $=$ ②の右辺だから，

$\begin{eqnarray}\dfrac{\;600\;}{7}x&=&600x-9600\\[5pt]x&=&\dfrac{\;56\;}{3}\end{eqnarray}$

$x=\dfrac{\;56\;}{3}$ を ① に代入して，

$\begin{eqnarray}y&=&\dfrac{\;600\;}{7} \times \dfrac{\;56\;}{3} \\[5pt]&=&1600\end{eqnarray}$

したがって，花子さんがモノレールに追い越された場所は，$\rm B$ 駅から $1600\;\rm m$ 離れています。

(3)の(ア) から，花子さんが初めてモノレールとすれ違った場所は，$\rm B$ 駅から $600\;\rm m$ 離れているので，花子さんが初めてモノレールとすれ違ってから途中で追い越されるまでに歩いた道のりは，

$1600-600=1000\;\rm ( m )$

〈仮定〉∠ BAD $=$ ∠CAD，BG $/\!/$ DC
〈結論〉△ AEC ∽ △ BGC

〈証明〉

△ AEC と △ BGC で，

共通な角だから，

∠ ACE ＝ ∠ BCG $\quad$･･･①

仮定から，

∠ CAE ＝ ∠ BAE $\quad$･･･②

弧 BD に対する円周角だから，

∠ BAE ＝ ∠ BCD $\quad$･･･③

DC $/\!/$ BG より，平行線の錯覚だから，

∠ BCD ＝ ∠ CBG $\quad$･･･④

②，③，④ から，

∠ CAE ＝ ∠ CBG $\quad$･･･⑤

①，⑤ から，$2$ 組の角がそれぞれ等しいので，

△ AEC ∽ △ BGC

解答$3\;\rm cm$

「三角形の角の二等分線と比」の定理(下の右図)を使います。

上の左図から，

AB：AC $=$ BE：CE だから，

$\;4\;$：$\;6\;$ $=$ BE：CE

BE：CE $=$ $2$：$3$

よって，

CE $=$ BC $\times \dfrac{3}{\;2+3\;}$

$\,\;=5 \times \dfrac{\;3\;}{5}$

$\,\;=3$$\;(\,\rm cm\,)$

解答$\dfrac{\;16\;}{\;49\;}$ 倍

(2)の(ア) から，CE $=3\;(\,\rm cm\,)$ だから，

BE $=$ BC $-$ CE

$\,\;=5-3$

$\,\;=2\;(\,\rm cm\,)$ ･･････ ①

(1) から，△AEC ∽ △BCG だから，

AC：BC $=$ CE：CG

$\;6\;$：$\;5\;$ $=$ $\;3\;$：CG

$6\,\times\,$CG $=$ $5 \times 3$

$\,$CG $=\dfrac{\;5\;}{\;2\;}\;(\,\rm cm\,)$

よって，

AG $=$ AC $-$ CG

$\;\,=$ $\;6\;- \dfrac{\;5\;}{2}$

$\;\,=\dfrac{\;7\;}{\;2\;}\;(\,\rm cm\,)$ ･･････ ②

また，△BEF ∽ △AGF であり（証明は下の参考），

①，② からその相似比は，

BE：AG $=$ $2$：$\dfrac{\;7\;}{2}$

$\quad\;\; =$ $4$：$7$

よって，△BEF と △AGF の面積比は，

$4^{2}$：$7^{2}=16$：$49$

したがって，

△BEF $:$ △AGF $=16$：$49$

$\;\;49\times$△BEF $=$ $16\times$△AGF

$\;\;\,$△BEF $=\dfrac{16}{\;49\;}\times$△AGF

---

〔参考〕△ BEF ∽ △ AGF の証明

〈証明〉

△BEF と △ AGF で，

(1) から △ AEC ∽ △ BCG だから，

∠ CBG ＝ ∠ CAE

すなわち，

∠ EBF ＝ ∠ GAF $\quad$･･･①

対頂角だから，

∠ BFE ＝ ∠ AFG $\quad$･･･②

①，② から，$2$ 組の角がそれぞれ等しいので，

△ BEF ∽ △ AGF

解答$1999\;\;\rightarrow\;\;28\;\;\rightarrow\;\;10\;\;\rightarrow\;\;1\;$

$1999$ について作業を行います。

$1$ 回目の作業$\quad1+9+9+9=28$

$2$ 回目の作業$\quad2+8=10$

$3$ 回目の作業$\quad1+0=1$

よって，

$1999\quad\rightarrow\quad28\quad\rightarrow\quad10\quad\rightarrow\quad1$

解答$19,\,28,\,29$

$10$ 以上 $30$ 以下の自然数には，$1$ 回目の作業で終了するものと，$2$ 回目の作業で終了するものがあります。

$1$ 回目の作業で終了 $\cdots$ 一の位の数と十の位の数の和が $1$ 桁

$2$ 回目の作業で終了 $\cdots$ 一の位の数と十の位の数の和が $2$ 桁

$10$ 以上 $30$ 以下の自然数で，一の位の数と十の位の数の和が $2$ 桁になるのは，$19,\,28,\,29$ の$3$ 個です。

〔参考〕下は$10$ 以上 $30$ 以下のすべての自然数について作業を行ったものです。

・$10\quad\rightarrow\quad 1$

・$11\quad\rightarrow\quad 2$

・$12\quad\rightarrow\quad 3$

・$13\quad\rightarrow\quad 4$

・$14\quad\rightarrow\quad 5$

・$15\quad\rightarrow\quad 6$

・$16\quad\rightarrow\quad 7$

・$17\quad\rightarrow\quad 8$

・$18\quad\rightarrow\quad 9$

・$19\quad\rightarrow\quad 10\quad\rightarrow\quad1$

・$20\quad\rightarrow\quad 2$

・$21\quad\rightarrow\quad 3$

・$22\quad\rightarrow\quad 4$

・$23\quad\rightarrow\quad 5$

・$24\quad\rightarrow\quad 6$

・$25\quad\rightarrow\quad 7$

・$26\quad\rightarrow\quad 8$

・$27\quad\rightarrow\quad 9$

・$28\quad\rightarrow\quad 10\quad\rightarrow\quad1$

・$29\quad\rightarrow\quad 11\quad\rightarrow\quad1$

・$30\quad\rightarrow\quad 3$

解答ア$\;\;a+b+c$,$\quad$イ$\;\;27$,$\quad$ウ$\;\;19$

$3$ けたの自然数は，百の位の数が $a$，十の位の数が $b$，一の位の数が $c$ だから，

$1$ 回目の作業でできる自然数は，

$a+b+c\qquad$ア$a+b+c$

$a+b+c$ の値は，

$a=1,\;b=0,\;c=0$ のとき最小値 $1$

$a=9,\;b=9,\;c=9$ のとき最大値 $27$

になります。$\qquad$イ$27$

また，$a+b+c$ が $2$ けたの自然数のとき，

$1$ 回目の作業でできる自然数（$a+b+c$ の値）は，$10$ から $27$ までの自然数です。

このとき，(2) の〔参考〕から，

あと $2$ 回作業があるのは，$a+b+c=19$ のときだけです。$\qquad$ウ$19$

解答$199$

(3) の考え方で，$a+b+c=19$ になるものを数えます。

百の位の数が $1$ であるとは，$a=1$ であり，そのとき，

$\begin{eqnarray}1+b+c&=&19\\[5pt]b+c&=&18\end{eqnarray}$

になります。

$b$ と $c$ の値の組を $(\,b,\,c\,)$ と表すと，$b+c=18$ になるのは，

$(\,b,\,c\,)=(\,9,\,9\,)$

の $1$ 組だけなので，求める自然数は $199$ です。

解答$45\;$個

(3) の考え方で，全ての $3$ けたの自然数のうち，$a+b+c=19$ になるものを数えます。

$a=1$ のとき，(4)から，

$(\,b,\,c\,)=(\,9,\,9\,)\cdots \;1$ 個

$a=2$ のとき，$b+c=17$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,8,\,9\,),\,(\,9,\,8\,)\cdots \;2$ 個

$a=3$ のとき，$b+c=16$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,7,\,9\,),\,(\,8,\,8\,),\,(\,9,\,7\,)\cdots \;3$ 個

$a=4$ のとき，$b+c=15$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,6,\,9\,),\,(\,7,\,8\,),\,(\,8,\,7\,),\,(\,9,\,6\,)\cdots \;4$ 個

$a=5$ のとき，$b+c=14$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,5,\,9\,),\,(\,6,\,8\,),\,(\,7,\,7\,),\,(\,8,\,6\,),\,(\,9,\,5\,)\cdots \;5$ 個

$a=6$ のとき，$b+c=13$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,4\,9\,),\,(\,5,\,8\,),\,(\,6,\,7\,),\,(\,7,\,6\,),\,(\,8,\,5\,),\,(\,9,\,4\,)\cdots \;6$ 個

$a=7$ のとき，$b+c=12$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,3,\,9\,),\,(\,4,\,8\,),\,(\,5,\,7\,),\,(\,6,\,6\,),\,(\,7,\,5\,),\,(\,8,\,4\,),\,(\,9,\,3\,)\cdots \;7$ 個

$a=8$ のとき，$b+c=11$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,2,\,9\,),\,(\,3,\,8\,),\,(\,4,\,7\,),\,(\,5,\,6\,),\,(\,6,\,5\,),\,(\,7,\,4\,),\,(\,8,\,3\,),\,(\,9,\,2\,)\cdots \;8$ 個

$a=9$ のとき，$b+c=10$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,1,\,9\,),\,(\,2,\,8\,),\,(\,3,\,7\,),\,(\,4,\,6\,),\,(\,5,\,5\,),\,(\,6,\,4\,),\,(\,7,\,3\,),\,(\,8,\,2\,),\,(\,9,\,1\,)\cdots \;9$ 個

よって，求める個数は，

$1+2+3+4+5+6+7+8+9=\dfrac{\;1+9\;}{2} \times 9 =45\;$(個)$\;\;$（下の解説参照）

〔連続する自然数の和について〕

$a$ から $b$ までの連続する $n$ 個の自然数について，

平均値 ＝ 合計(和) ÷ 個数 だから，

合計(和) ＝ 平均値 × 個数 で求められます。

また，連続するいくつかの自然数の平均値は，

最小の数$(a)$と最大の数$(b)$の平均値 $\dfrac{\;a+b\;}{2}$ になります。よって，

上の解法の $1$ から $9$ までの連続する $9$ 個の自然数の和は，

$\dfrac{\;1+9\;}{2} \times 9=5 \times 9 = 45$

と求めることができます。