33104中３・平方根・計算問題・いろいろな計算4
banno計算問題 》いろいろな計算④
次の問いに答えなさい。
(1) $a=\sqrt{10\,}-2\;\;$のとき，次の式の値を答えなさい。
① $\;\;a^{2}+2a$
② $\;\;a^{2}+4a+4$
(2) $x=\sqrt{2\,}+1$，$y=\sqrt{2\,}-1\;\;$のとき，次の式の値を答えなさい。
① $\;\;xy$
② $\;\;x^{2}-y^{2}$
(3) $x=\sqrt{6\,}+\sqrt{3\,}$，$y=\sqrt{6\,}-\sqrt{3\,}\;\;$のとき，次の式の値を答えなさい。
① $\;\;x^{2}+2xy+y^{2}$
② $\;\;x^{2}+xy+y^{2}$
(4) $a+b=3\sqrt{7\,}$，$ab=14\;\;$のとき，$a^{2}+b^{2}\;\;$の値を答えなさい。
解答・解説
(1) ①答$10-2\sqrt{10\,}$
式を因数分解してから，文字の値 $\;a=\sqrt{10\,}-2\;$ を代入します。
$\begin{eqnarray}\qquad a^{2}+2a&=&a(\,a+2\,)\\[5pt]&=&(\,\sqrt{10\,}-2\,)\{\,(\,\sqrt{10\,}-2\,)+2\,\}\\[5pt]&=&(\,\sqrt{10\,}-2\,)\times \sqrt{10\,} \\[5pt]&=&(\,\sqrt{10\,}\,)^{2}-2\sqrt{10\,} \\[5pt]&=&10-2\sqrt{10\,}\end{eqnarray}\;\;$
(1) ②答$10$
式を因数分解してから，文字の値 $\;a=\sqrt{10\,}-2\;$ を代入します。
$\begin{eqnarray}\qquad a^{2}+4a+4&=&(\,a+2\,)^{2}\\[5pt]&=&\{\,(\,\sqrt{10\,}-2\,)+2\,\}^{2}\\[5pt]&=&(\,\sqrt{10\,}\,)^{2}\\[5pt]&=&10\end{eqnarray}\;\;$
(2) ①答$1$
$\begin{eqnarray}\qquad xy&=&(\,\sqrt{2\,}+1\,)(\,\sqrt{2\,}-1\,)\\[5pt]&=&(\,\sqrt{2\,}\,)^{2}-1^{2}\\[5pt]&=&2-1\\[5pt]&=&1\end{eqnarray}\;\;$
(2) ②答$4\sqrt{2\,}$
式を因数分解してから，文字の値 $\;x=\sqrt{2\,}+1$，$y=\sqrt{2\,}-1\;\;$ を代入します。
$\begin{eqnarray}\qquad x^{2}-y^{2}&=&(\,x+y\,)(\,x-y\,)\\[5pt]&=&\{\,(\,\sqrt{2\,}+1\,)+(\,\sqrt{2\,}-1\,)\,\}\{\,(\,\sqrt{2\,}+1\,)-(\,\sqrt{2\,}-1\,)\,\} \\[5pt]&=&2\sqrt{2\,} \times 2\\[5pt]&=&4\sqrt{2\,}\end{eqnarray}\;\;$
(3) ①答$24$
式を因数分解してから，文字の値 $\;x=\sqrt{6\,}+\sqrt{3\,}$，$y=\sqrt{6\,}-\sqrt{3\,}\;\;$ を代入します。
$\begin{eqnarray}\qquad x^{2}+2xy+y^{2}&=&(\,x+y\,)^{2} \\[5pt]&=&\{\,(\,\sqrt{6\,}+\sqrt{3\,}\,)+(\,\sqrt{6\,}-\sqrt{3\,}\,\}^{2}\\[5pt]&=&(\,2\sqrt{6\,}\,)^{2}\\[5pt]&=&24\end{eqnarray}\;\;$
(3) ②答$21$
式を変形してから，文字の値 $\;x=\sqrt{6\,}+\sqrt{3\,}$，$y=\sqrt{6\,}-\sqrt{3\,}\;\;$ を代入します。
$\begin{eqnarray}\qquad x^{2}+xy+y^{2}&=&(\,x+y\,)^{2}-xy \\[5pt]&=&\{\,(\,\sqrt{6\,}+\sqrt{3\,}\,)+(\,\sqrt{6\,}-\sqrt{3\,}\,\}^{2}-(\,\sqrt{6\,}+\sqrt{3\,}\,)(\,\sqrt{6\,}-\sqrt{3\,}\,)\\[5pt]&=&(\,2\sqrt{6\,}\,)^{2}-\{\,(\,\sqrt{6\,}\,)^{2}-(\,\sqrt{3\,}\,)^{2}\,\}\\[5pt]&=&24-3\\[5pt]&=&21\end{eqnarray}\;\;$
【 式の変形 】
$\begin{eqnarray}\qquad x^{2}+2xy+y^{2}&=&(\,x+y\,)^{2}\\[5pt]x^{2}+2xy+y^{2}\color{red}-xy&=&(\,x+y\,)^{2}\color{red}-xy\\[5pt]x^{2}+xy+y^{2}&=&(\,x+y\,)^{2}-xy\end{eqnarray}\;\;$
(4)答$35$
式を変形してから，式の値 $\;a+b=3\sqrt{7\,}$，$ab=14\;\;$ を代入します。
$\begin{eqnarray}\qquad a^{2}+b^{2}&=&(\,a+b\,)^{2}-2ab \\[5pt]&=&(\,3\sqrt{7\,}\,)^{2}-2 \times 14 \\[5pt]&=&63-28\\[5pt]&=&35\end{eqnarray}\;\;$
【 式の変形 】
$\begin{eqnarray}\qquad a^{2}\color{red}+2ab\color{black}+b^{2}&=&(\,a+b\,)^{2}\\[5pt]a^{2}+b^{2}&=&(\,a+b\,)^{2}\color{red}-2ab\color{black}\end{eqnarray}\;\;$
