33104中3・平方根・計算問題・いろいろな計算4

計算問題 》いろいろな計算④

次の問いに答えなさい。

(1)   $a=\sqrt{10\,}-2\;\;$のとき,次の式の値を答えなさい。

① $\;\;a^{2}+2a$

② $\;\;a^{2}+4a+4$

(2)   $x=\sqrt{2\,}+1$,$y=\sqrt{2\,}-1\;\;$のとき,次の式の値を答えなさい。

① $\;\;xy$

② $\;\;x^{2}-y^{2}$

(3)   $x=\sqrt{6\,}+\sqrt{3\,}$,$y=\sqrt{6\,}-\sqrt{3\,}\;\;$のとき,次の式の値を答えなさい。

① $\;\;x^{2}+2xy+y^{2}$

② $\;\;x^{2}+xy+y^{2}$

(4)   $a+b=3\sqrt{7\,}$,$ab=14\;\;$のとき,$a^{2}+b^{2}\;\;$の値を答えなさい。

解答・解説

(1) ①$10-2\sqrt{10\,}$

式を因数分解してから,文字の値 $\;a=\sqrt{10\,}-2\;$ を代入します。

$\begin{eqnarray}\qquad a^{2}+2a&=&a(\,a+2\,)\\[5pt]&=&(\,\sqrt{10\,}-2\,)\{\,(\,\sqrt{10\,}-2\,)+2\,\}\\[5pt]&=&(\,\sqrt{10\,}-2\,)\times \sqrt{10\,} \\[5pt]&=&(\,\sqrt{10\,}\,)^{2}-2\sqrt{10\,} \\[5pt]&=&10-2\sqrt{10\,}\end{eqnarray}\;\;$


(1) ②$10$

式を因数分解してから,文字の値 $\;a=\sqrt{10\,}-2\;$ を代入します。

$\begin{eqnarray}\qquad a^{2}+4a+4&=&(\,a+2\,)^{2}\\[5pt]&=&\{\,(\,\sqrt{10\,}-2\,)+2\,\}^{2}\\[5pt]&=&(\,\sqrt{10\,}\,)^{2}\\[5pt]&=&10\end{eqnarray}\;\;$


(2) ①$1$

$\begin{eqnarray}\qquad xy&=&(\,\sqrt{2\,}+1\,)(\,\sqrt{2\,}-1\,)\\[5pt]&=&(\,\sqrt{2\,}\,)^{2}-1^{2}\\[5pt]&=&2-1\\[5pt]&=&1\end{eqnarray}\;\;$


(2) ②$4\sqrt{2\,}$

式を因数分解してから,文字の値 $\;x=\sqrt{2\,}+1$,$y=\sqrt{2\,}-1\;\;$ を代入します。

$\begin{eqnarray}\qquad x^{2}-y^{2}&=&(\,x+y\,)(\,x-y\,)\\[5pt]&=&\{\,(\,\sqrt{2\,}+1\,)+(\,\sqrt{2\,}-1\,)\,\}\{\,(\,\sqrt{2\,}+1\,)-(\,\sqrt{2\,}-1\,)\,\} \\[5pt]&=&2\sqrt{2\,} \times 2\\[5pt]&=&4\sqrt{2\,}\end{eqnarray}\;\;$


(3) ①$24$

式を因数分解してから,文字の値 $\;x=\sqrt{6\,}+\sqrt{3\,}$,$y=\sqrt{6\,}-\sqrt{3\,}\;\;$ を代入します。

$\begin{eqnarray}\qquad x^{2}+2xy+y^{2}&=&(\,x+y\,)^{2} \\[5pt]&=&\{\,(\,\sqrt{6\,}+\sqrt{3\,}\,)+(\,\sqrt{6\,}-\sqrt{3\,}\,\}^{2}\\[5pt]&=&(\,2\sqrt{6\,}\,)^{2}\\[5pt]&=&24\end{eqnarray}\;\;$


(3) ②$21$

式を変形してから,文字の値 $\;x=\sqrt{6\,}+\sqrt{3\,}$,$y=\sqrt{6\,}-\sqrt{3\,}\;\;$ を代入します。

$\begin{eqnarray}\qquad x^{2}+xy+y^{2}&=&(\,x+y\,)^{2}-xy \\[5pt]&=&\{\,(\,\sqrt{6\,}+\sqrt{3\,}\,)+(\,\sqrt{6\,}-\sqrt{3\,}\,\}^{2}-(\,\sqrt{6\,}+\sqrt{3\,}\,)(\,\sqrt{6\,}-\sqrt{3\,}\,)\\[5pt]&=&(\,2\sqrt{6\,}\,)^{2}-\{\,(\,\sqrt{6\,}\,)^{2}-(\,\sqrt{3\,}\,)^{2}\,\}\\[5pt]&=&24-3\\[5pt]&=&21\end{eqnarray}\;\;$

【 式の変形 】

$\begin{eqnarray}\qquad x^{2}+2xy+y^{2}&=&(\,x+y\,)^{2}\\[5pt]x^{2}+2xy+y^{2}\color{red}-xy&=&(\,x+y\,)^{2}\color{red}-xy\\[5pt]x^{2}+xy+y^{2}&=&(\,x+y\,)^{2}-xy\end{eqnarray}\;\;$


(4)$35$

式を変形してから,式の値 $\;a+b=3\sqrt{7\,}$,$ab=14\;\;$ を代入します。

$\begin{eqnarray}\qquad a^{2}+b^{2}&=&(\,a+b\,)^{2}-2ab \\[5pt]&=&(\,3\sqrt{7\,}\,)^{2}-2 \times 14 \\[5pt]&=&63-28\\[5pt]&=&35\end{eqnarray}\;\;$

【 式の変形 】

$\begin{eqnarray}\qquad a^{2}\color{red}+2ab\color{black}+b^{2}&=&(\,a+b\,)^{2}\\[5pt]a^{2}+b^{2}&=&(\,a+b\,)^{2}\color{red}-2ab\color{black}\end{eqnarray}\;\;$