33072中３・平方根・計算問題・除法2
banno計算問題 》除法②
次の計算をしなさい。ただし，分母を有理化して答えなさい。
(1) $\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;2\;}\,} \div \sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;3\;}\,}$
(2) $\sqrt{\dfrac{\;5\;}{\;3\;}\,} \div \sqrt{\dfrac{\;24\;}{\;5\;}\,}$
(3) $\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{7\,}\;} \div \dfrac{\;\sqrt{10\,}\;}{\;7\;}$
(4) $\dfrac{\;10\;}{\;\sqrt{30\,}\;} \div \dfrac{\;\sqrt{5\,}\;}{\;20\;}$
(5) $\sqrt{22.5\,} \div \sqrt{0.3\,}$
解答・解説
$(1)\;$答$\dfrac{\;\sqrt{6\,}\;}{\;2\;}$
$\begin{eqnarray}\qquad\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;2\;}\,} \div \sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;3\;}\,}&=&\dfrac{\;\sqrt{1\,}\;}{\;\sqrt{2\,}\;} \div \dfrac{\;\sqrt{1\,}\;}{\;\sqrt{3\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{2\,}\;} \div \dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{3\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{2\,}\;} \times \dfrac{\;\sqrt{3\,}\;}{\;1\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{3\,}\;}{\;\sqrt{2\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{6\,}\;}{\;2\;} \end{eqnarray}\;\;$
※ $\dfrac{\;\sqrt{3\,}\;}{\;\sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{3\,} \times \sqrt{2\,}\;}{\;\sqrt{2\,} \times \sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{6\,}\;}{\;2\;}$
別 解
$\begin{eqnarray}\qquad\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;2\;}\,} \div \sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;3\;}\,}&=&\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;2\;} \div \dfrac{\;1\;}{\;3\;}\,}\\[5pt]&=&\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;2\;} \times \dfrac{\;3\;}{\;1\;}\,}\\[5pt]&=&\sqrt{\dfrac{\;3\;}{\;2\;}\,}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{3\,}\;}{\;\sqrt{2\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{6\,}\;}{\;2\;} \end{eqnarray}\;\;$
$(2)\;$答$\dfrac{\;5\sqrt{2\,}\;}{\;12\;}$
$\begin{eqnarray}\qquad\sqrt{\dfrac{\;5\;}{\;3\;}\,} \div \sqrt{\dfrac{\;24\;}{\;5\;}\,}&=&\dfrac{\;\sqrt{5\,}\;}{\;\sqrt{3\,}\;} \div \dfrac{\;\sqrt{24\,}\;}{\;\sqrt{5\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{5\,}\;}{\;\sqrt{3\,}\;} \times \dfrac{\;\sqrt{5\,}\;}{\;\sqrt{24\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{15\,}\;}{\;3\;} \times \dfrac{\;\sqrt{30\,}\;}{\;12\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{15\,} \times \sqrt{2\,} \times\sqrt{15\,}\;}{\;3 \times 12\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;(\,\sqrt{15\,}\,)^{2} \times \sqrt{2\,}\;}{\;36\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\color{red}\cancelto{3}{\color{black}15}\color{black} \times \sqrt{2\,}\;}{\;\color{red}\cancelto{12}{\color{black}36}\color{black}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;5\sqrt{2\,}\;}{\;12\;}\end{eqnarray}\;\;$
※ $\dfrac{\;\sqrt{5\,}\;}{\;\sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{5\,} \times \sqrt{3\,}\;}{\;\sqrt{3\,} \times \sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{15\,}\;}{\;3\;}$
※ $\dfrac{\;\sqrt{5\,}\;}{\;\sqrt{24\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{5\,}\;}{\;2\sqrt{6\,}\;}=\dfrac{\;\; \sqrt{5\,} \times \sqrt{6\,}\;}{\;2\sqrt{6\,} \times \sqrt{6\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{30\,}\;}{\;12\;}$
別 解
$\begin{eqnarray}\qquad\sqrt{\dfrac{\;5\;}{\;3\;}\,} \div \sqrt{\dfrac{\;24\;}{\;5\;}\,}&=&\sqrt{\dfrac{\;5\;}{\;3\;} \div \dfrac{\;24\;}{\;5\;}\,}\\[5pt]&=&\sqrt{\dfrac{\;5\;}{\;3\;} \times \dfrac{\;5\;}{\;24\;}\,}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{5^{2}\,}\;}{\;\sqrt{72\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;5\;}{\;6\sqrt{2\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;5\sqrt{6\,}\;}{\;12\;} \end{eqnarray}\;\;$
※ $\sqrt{72\,}=\sqrt{6^{2} \times 2\,}=6\sqrt{2\,}$
※ $\dfrac{\;5\;}{\;6\sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;\;\;5\;\;\;\times \sqrt{2\,}\;}{\;6\sqrt{2\,} \times \sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;5\sqrt{2\,}\;}{\;12\;}$
$(3)\;$答$\dfrac{\;\sqrt{70\,}\;}{\;10\;}$
$\begin{eqnarray}\qquad\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{7\,}\;} \div \dfrac{\;\sqrt{10\,}\;}{\;7\;}&=&\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{7\,}\;} \times \dfrac{\;7\;}{\;\sqrt{10\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{7\,}\;}{\;7\;} \times \dfrac{\;7\sqrt{10\,}\;}{\;10\;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{7\,} \times \color{red}\cancel{\color{black}7}\color{black} \times \sqrt{10\,}\;}{\;\color{red}\cancel{\color{black}7}\color{black} \times 10\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{70\,}\;}{\;10\;}\end{eqnarray}\;\;$
※ $\dfrac{1}{\;\sqrt{7\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,1\;\;\; \times \sqrt{7\,}\;}{\;\sqrt{7\,} \times \sqrt{7\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{7\,}\;}{\;7\;}$
※ $\dfrac{7}{\;\sqrt{10\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,7\;\;\; \times \sqrt{10\,}\;}{\;\sqrt{10\,} \times \sqrt{10\,}\;}=\dfrac{\;7\sqrt{10\,}\;}{\;10\;}$
$(4)\;$答$\dfrac{\;20\sqrt{6\,} \;}{\;3\;}$
$\begin{eqnarray}\qquad\dfrac{\;10\;}{\;\sqrt{30\,}\;} \div \dfrac{\;\sqrt{5\,}\;}{\;20\;}&=&\dfrac{\;10\;}{\;\sqrt{30\,}\;} \times \dfrac{\;20\;}{\;\sqrt{5\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{30\,}\;}{\;3\;} \times 4\sqrt{5\,}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{30\,} \times 4 \times \sqrt{5\,}\;}{\;3\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{5\,} \times \sqrt{6\,} \times 4 \times \sqrt{5\,}\;}{\;3\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;(\,\sqrt{5\,}\,)^{2} \times \sqrt{6\,} \times 4\;}{\;3\;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;5 \times \sqrt{6\,} \times 4\;}{\;3\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;20\sqrt{6\,} \;}{\;3\;}\end{eqnarray}\;\;$
※ $\dfrac{10}{\;\sqrt{30\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,10\; \times \sqrt{30\,}\;}{\;\sqrt{30\,} \times \sqrt{30\,}\;}=\dfrac{\;\color{red}\cancelto{1}{\color{black}10}\color{black}\sqrt{30\,}\;}{\;\color{red}\cancelto{3}{\color{black}30}\;}=\dfrac{\;\sqrt{30\,}\;}{\;3\;}$
※ $\dfrac{20}{\;\sqrt{5\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,20\; \times \sqrt{5\,}\;}{\;\sqrt{5\,} \times \sqrt{5\,}\;}=\dfrac{\;\color{red}\cancelto{4}{\color{black}20}\color{black}\sqrt{5\,}\;}{\;\color{red}\cancelto{1}{\color{black}5}\;}=4\sqrt{5\,}$
$(5)\;$答$5\sqrt{3\,}$
$\begin{eqnarray}\qquad\sqrt{22.5\,} \div \sqrt{0.3\,}&=&\sqrt{\dfrac{\;225\;}{\;10\;}\,} \div \sqrt{\dfrac{\;3\;}{\;10\;}\,} \\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{15^{2}\,}\;}{\;\sqrt{10\,}\;} \div \dfrac{\;\sqrt{3\,}\;}{\;\sqrt{10\,}\;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;15\;}{\;\sqrt{10\,}\;} \times \dfrac{\;\sqrt{10\,}\;}{\;\sqrt{3\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;3\sqrt{10\,}\;}{\;2\;} \times \dfrac{\;\sqrt{30\,}\;}{\;3\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\color{red}\cancel{\color{black}3} \color{black} \times \sqrt{10\,} \times \sqrt{3\,} \times \sqrt{10\,} \;}{\;2 \times \color{red}\cancel{\color{black}3}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;(\,\sqrt{10\,}\,)^{2} \times \sqrt{3\,}\;}{\;2\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\color{red}\cancelto{5}{\color{black}10} \color{black} \times \sqrt{3\,}\;}{\;\color{red}\cancelto{1}{\color{black}2}\;}\\[5pt]&=&5\sqrt{3\,} \end{eqnarray}\;\;$
※ $\dfrac{15}{\;\sqrt{10\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,15\; \times \sqrt{10\,}\;}{\;\sqrt{10\,} \times \sqrt{10\,}\;}=\dfrac{\;\color{red}\cancelto{3}{\color{black}15}\color{black}\sqrt{10\,}\;}{\;\color{red}\cancelto{2}{\color{black}10}\;}=\dfrac{\;3\sqrt{10\,}\;}{\;2\;}$
※ $\dfrac{\:\sqrt{10\,}\:}{\;\sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{10\,} \times \sqrt{3\,}\;}{\;\sqrt{3\,} \; \times \sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{30\,}\;}{\;3\;}$
別 解
$\begin{eqnarray}\qquad \sqrt{22.5\,} \div \sqrt{0.3\,} &=&\sqrt{\dfrac{\;225\;}{\;10\;}\,} \div \sqrt{\dfrac{\;3\;}{\;10\;}\,}\\[5pt]&=&\sqrt{\dfrac{\;225\;}{\;10\;} \div \dfrac{\;3\;}{\;10\;}\,}\\[5pt] &=&\sqrt{\dfrac{\;225\;}{\;10\;} \times \dfrac{\;10\;}{\;3\;}\,}\\[5pt]&=&\sqrt{75\,}\\[5pt]&=&5\sqrt{3\,} \end{eqnarray}\;\;$
※ $\sqrt{75\,}=\sqrt{5^{2} \times 3\,}=5\sqrt{3\,}$
