620520中２・三角形と四角形・証明問題 20
banno直角三角形 》証明問題
問題 20
図の△ABC は，AB = AC の直角二等辺三角形である。
△ ABC の直角の頂点 A を通る直線 $\ell$ に，B，C からそれぞれ垂線 BD，CE をひく。このとき，
BD ＋ CE ＝ DE
であることを証明しなさい。
解 答
〈仮定〉AB ＝ CA，∠BAC ＝ ∠ADB ＝ ∠CEA ＝ 90°
〈結論〉BD ＋ CE ＝ DE
〈証明〉
△ADB と △CEA で，
仮定から，∠ADB ＝ ∠CEA ＝ 90°･･････①
AB ＝ CA ･･････②
△ABD の内角の和は 180° だから，
∠ABD ＝ 180° － ( ∠ADB ＋ ∠BAD )
＝ 180° － ( 90° ＋ ∠BAD )
＝ 90° － ∠BAD･･････③
∠DAE ＝ 180° だから,
∠CAE ＝ 180° － ( ∠BAC ＋ ∠BAD )
＝ 180° － ( 90° ＋ ∠BAD )
＝ 90° － ∠BAD･･････④
③，④から，∠ABD ＝ ∠CAE･･････⑤
①，②，⑤から，斜辺と 1 鋭角がそれぞれ等しい直角三角形なので，
△ADB ≡ △CEA
合同な三角形の対応する辺だから，
BD ＝ AE，AD ＝ CE
よって，BD ＋ CE ＝ AE ＋ AD ＝ DE
