33093中３・平方根・計算問題・加法と減法3
banno計算問題 》加法と減法③
次の計算をしなさい。ただし，分母を有理化して答えなさい。
(1) $\sqrt{8\,}-\dfrac{\;6\;}{\;\sqrt{2\,}\;}$
(2) $\sqrt{\dfrac{\;2\;}{\;3\;}\,}-\dfrac{\;\sqrt{24\,}\;}{\;3\;}$
(3) $\dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;\sqrt{5\,}\;} +\sqrt{40\,}-\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{10\,}\;}$
(4) $\dfrac{\;6\;}{\;\sqrt{2\,}\;}-\dfrac{\;6\;}{\;\sqrt{3\,}\;}+\dfrac{\;24\;}{\;\sqrt{12\,}\;}-\dfrac{\;10\;}{\;\sqrt{50\,}\;}$
(5) $\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;2\;}\,}+\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;3\;}\,}-\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;8\;}\,}-\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;27\;}\,}$
解答・解説
$(1)\;$答$-\sqrt{2\,}$
$\begin{eqnarray}\qquad\sqrt{8\,}-\dfrac{\;6\;}{\;\sqrt{2\,}\;}&=&2\sqrt{2\,}-3\sqrt{2\,}\\[5pt]&=&(\,2-3\,)\times \sqrt{2\,}\\[5pt]&=&-\sqrt{2\,} \end{eqnarray}\;\;$
※ $\sqrt{8\,}=\sqrt{2^{2} \times 2\,}=2\sqrt{2\,}$
※ $\dfrac{6}{\;\sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,6\; \times \sqrt{2\,}\;}{\;\sqrt{2\,} \times \sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;6\sqrt{2\,}\;}{\;2\;}=3\sqrt{2\,}$
$(2)\;$答$-\dfrac{\;\sqrt{6\,}\;}{\;3\;}$
$\begin{eqnarray}\qquad\sqrt{\dfrac{\;2\;}{\;3\;}\,}-\dfrac{\;\sqrt{24\,}\;}{\;3\;}&=&\dfrac{\;\sqrt{6\,}\;}{\;3\;}-\dfrac{\;2\sqrt{6\,}\;}{\;3\;}\\[5pt]&=&\Bigl(\dfrac{\;1\;}{\;3\;}-\dfrac{\;2\;}{\;3\;}\,\Bigr) \times \sqrt{6\,}\\[5pt]&=&-\dfrac{\;\sqrt{6\,}\;}{\;3\;} \end{eqnarray}\;\;$
※ $\sqrt{\dfrac{\;2\;}{\;3\;}\,}=\dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;\sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{2\,} \times \sqrt{3\,}\;}{\;\sqrt{3\,} \times \sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{6\,}\;}{\;3\;}$
※ $\dfrac{\;\sqrt{24\,}\;}{3}=\dfrac{\;\sqrt{2^{2} \times 6\,}\;}{3}=\dfrac{\;2\sqrt{6\,}\;}{3}$
$(3)\;$答$\dfrac{\;21\sqrt{10\,}\;}{\;10\;}$
$\begin{eqnarray}\qquad\dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;\sqrt{5\,}\;} +\sqrt{40\,}-\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{10\,}\;}&=&\dfrac{\;\sqrt{10\,}\;}{\;5\;} +2\sqrt{10\,}-\dfrac{\;\sqrt{10\,}\;}{\;10\;}\\[5pt]&=&\Bigl(\,\dfrac{\;1\,}{\;5\;} +2-\dfrac{\;1\;}{\;10\;}\,\Bigr) \times \sqrt{10\,} \\[5pt]&=&\dfrac{\;21\sqrt{10\,}\;}{\;10\;}\end{eqnarray}\;\;$
※ $\dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;\sqrt{5\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{2\,} \times \sqrt{5\,}\;}{\;\sqrt{5\,} \times \sqrt{5\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{10\,}\;}{\;5\;}$
※ $\sqrt{40\,}=\sqrt{2^{2} \times 10\,}=2\sqrt{10\,}$
※ $\dfrac{1}{\;\sqrt{10\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,1\; \times \sqrt{10\,}\;}{\;\sqrt{10\,} \times \sqrt{10\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{10\,}\;}{\;10\;}$
$(4)\;$答$2\sqrt{2\,}+2\sqrt{3\,}$
$\begin{eqnarray}\qquad\dfrac{\;6\;}{\;\sqrt{2\,}\;}-\dfrac{\;6\;}{\;\sqrt{3\,}\;}+\dfrac{\;24\;}{\;\sqrt{12\,}\;}-\dfrac{\;10\;}{\;\sqrt{50\,}\;}&=&3\sqrt{2\,}-2\sqrt{3\,}+4\sqrt{3\,}-\sqrt{2\,}\\[5pt]&=&(\,3-1\,) \times \sqrt{2\,}+(\,-2+4\,) \times \sqrt{3\,}\\[6pt]&=&2\sqrt{2\,}+2\sqrt{3\,}\end{eqnarray}\;\;$
※ $\dfrac{\;6\;}{\;\sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,6\; \times \sqrt{2\,}\;}{\;\sqrt{2\,} \times \sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;6\sqrt{2\,}\;}{\;2\;}=3\sqrt{2\,}$
※ $\dfrac{\;6\;}{\;\sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,6\; \times \sqrt{3\,}\;}{\;\sqrt{3\,} \times \sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;6\sqrt{3\,}\;}{\;3\;}=2\sqrt{3\,}$
※ $\dfrac{\;24\;}{\;\sqrt{12\,}\;}=\dfrac{\;24\;}{\;\sqrt{2^{2} \times 3\,}\;}=\dfrac{\;24\;}{\;2\sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;12\;}{\;\sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,12\; \times \sqrt{3\,}\;}{\;\sqrt{3\,} \times \sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;12\sqrt{3\,}\;}{\;3\;}=4\sqrt{3\,}$
※ $\dfrac{\;10\;}{\;\sqrt{50\,}\;}=\dfrac{\;10\;}{\;\sqrt{5^{2} \times 2\,}\;}=\dfrac{\;10\;}{\;5\sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;2\;}{\;\sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,2\; \times \sqrt{2\,}\;}{\;\sqrt{2\,} \times \sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;2\sqrt{2\,}\;}{\;2\;}=\sqrt{2\,}$
$(5)\;$答$\dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;4\;}+\dfrac{\;2\sqrt{3\,}\;}{\;9\;}$
$\begin{eqnarray}\qquad \sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;2\;}\,}+\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;3\;}\,}-\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;8\;}\,}-\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;27\;}\,}&=&\dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;2\;}+\dfrac{\;\sqrt{3\,}\;}{\;3\;} -\dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;4\;} -\dfrac{\;\sqrt{3\,}\;}{\;9\;} \\[5pt]&=&\Bigl(\,\dfrac{\;1\;}{\;2\;}-\dfrac{\;1\;}{\;4\;}\,\Bigr)\times \sqrt{2\,} + \Bigl(\,\dfrac{\;1\;}{\;3\;}-\dfrac{\;1\;}{\;9\;}\,\Bigr)\times \sqrt{3\,} \\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;4\;}+\dfrac{\;2\sqrt{3\,}\;}{\;9\;}\end{eqnarray}\;\;$
※ $\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;2\;}\,}=\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,1\; \times \sqrt{2\,}\;}{\;\sqrt{2\,} \times \sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;2\;}$
※ $\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;3\;}\,}=\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,1\; \times \sqrt{3\,}\;}{\;\sqrt{3\,} \times \sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{3\,}\;}{\;3\;}$
※ $\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;8\;}\,}=\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{8\,}\;}=\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{2^{2} \times 2\,}\;}=\dfrac{\;1\;}{\;2\sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,1\; \times \sqrt{2\,}\;}{\;2\sqrt{2\,} \times \sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;4\;}$
※ $\sqrt{\dfrac{\;1\;}{\;27\;}\,}=\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{27\,}\;}=\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{3^{2} \times 3\,}\;}=\dfrac{\;1\;}{\;3\sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,1\; \times \sqrt{3\,}\;}{\;3\sqrt{3\,} \times \sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{3\,}\;}{\;9\;}$
