34042中３・２次方程式・計算問題・総合2

(1) $\;\begin{eqnarray}(\,x+2\,)^{2}-5(\,x+2\,)+4=0\;\end{eqnarray}$

《 解法１》

$x+2=A$とおきます。

$\begin{eqnarray}(\,x+2\,)^{2}-5(\,x+2\,)+4&=&0\\[6pt]A^{2}-5A+4&=&0\\[6pt](\,A-1\,)(\,A-4\,)&=&0\\[6pt]\{(\,x+2\,)-1\}\{(\,x+2\,)-4\}&=&0\\[6pt](\,x+1\,)(\,x-2\,)&=&0\end{eqnarray}$

$x+1=0\;$ または $\;x-2=0$

よって，$x=-1,\;x=2$

答$x=-1,\;x=2$

《 解法２》

$\begin{eqnarray}(\,x+2\,)^{2}-5(\,x+2\,)+4&=&0\\[6pt]x^{2}+4x+4-5x-10+4&=&0\\[6pt]x^{2}-x-2&=&0\\[5pt](\,x+1\,)(\,x-2\,)&=&0\end{eqnarray}$

$x+1=0\;$ または $\;x-2=0$

よって，$x=-1,\;x=2$

答$x=-1,\;x=2$

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(2) $\;\begin{eqnarray}(\,x-6\,)^{2}=6(\,x-6\,)-9\;\end{eqnarray}$

《 解法１》

$x-6=A$とおきます。

$\begin{eqnarray}(\,x-6\,)^{2}&=&6(\,x-6\,)-9\\[6pt](\,x-6\,)^{2}-6(\,x-6\,)+9&=&0\\[6pt]A^{2}-6A+9&=&0\\[6pt](\,A-3\,)^{2}&=&0\\[6pt]\{(\,x-6\,)-3\}^{2}&=&0\\[6pt](\,x-9\,)^{2}&=&0\\[5pt]x&=&9\end{eqnarray}$

答$x=9$

《 解法２》

$\begin{eqnarray}(\,x-6\,)^{2}&=&6(\,x-6\,)-9\\[6pt](\,x-6\,)^{2}-6(\,x-6\,)+9&=&0\\[6pt]x^{2}-12x+36-6x+36+9&=&0\\[6pt]x^{2}-18x+81&=&0\\[6pt](\,x-9\,)^{2}&=&0\\[6pt]x&=&9\end{eqnarray}$

答$x=9$

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(3) $\;\begin{eqnarray}(\,2x-3\,)^{2}=7(\,2x-3\,)-10\;\end{eqnarray}$

《 解法１》

$2x-3=A$とおきます。

$\begin{eqnarray}(\,2x-3\,)^{2}&=&7(\,2x-3\,)-10\\[6pt](\,2x-3\,)^{2}-7(\,2x-3\,)+10&=&0\\[6pt]A^{2}-7A+10&=&0\\[6pt](\,A-5\,)(\,A-2\,)&=&0\\[6pt]\{(\,2x-3\,)-5\}\{(\,2x-3\,)-2\}&=&0\\[5pt](\,2x-8\,)(\,2x-5\,)&=&0\end{eqnarray}$

$2x-8=0\;$ または $\;2x-5=0$

よって，$x=4,\;x=\dfrac{5}{\;2\;}$

答$x=\dfrac{5}{\;2\;}\;,\;x=4$

《 解法２》

$\begin{eqnarray}(\,2x-3\,)^{2}&=&7(\,2x-3\,)-10\\[6pt](\,2x-3\,)^{2}-7(\,2x-3\,)+10&=&0\\[6pt]4x^{2}-12x+9-14x+21+10&=&0\\[6pt]4x^{2}-26x+40&=&0\\[6pt]2x^{2}-13x+20&=&0\\[6pt]x&=&\frac{\;-(-13)\pm\sqrt{(-13)^{2}-4\times 2 \times 20\,}\;}{2\times 2}\\[6pt]&=&\frac{\;13\pm\sqrt{9\,}\;}{4}\\[6pt]&=&\frac{\;13\pm 3\;}{4}\end{eqnarray}$

よって，$x=\dfrac{\;13+3\;}{4}=4\;,$ または $\;x=\dfrac{\;13-3\;}{4}=\dfrac{5}{\;2\;}$

答$x=\dfrac{5}{\;2\;}\;,\;x=4$