岐阜県・公立高校入試 2023年度（ 令和5年度 ）解答・解説編

解答$-3$

解答$4a$

解答$8-2\sqrt{\,15\,}$

解答

作図の手順

① コンパスを AB の半分より大きく開き，点 A を中心とする弧をかきます。

② ①と同様にして，点 B を中心とする弧をかき，交点P，Q をつくります。

③ 直線 PQ をかきます。

解答$25\,\rm cm^2$

$\rm A$ の底面は，周の長さが $20 \, \rm cm$ の正方形だから，その $1$ 辺の長さは，

$20 \div 4 = 5$$\,(\,\rm cm\,)$

よって，面積は，

$5 \times 5 = 25$$\,(\,\rm cm^2\,)$

解答$x(\,10-x\,)\,\rm cm^2$

$\rm B$ の底面は，周の長さが $20 \, \rm cm$ の長方形だから，

たての長さ $+$ 横の長さ $=20 \div 2$

$ = 10$$\,(\, \rm cm\,)$

よって，

横の長さ $=10-\;$たての長さ

たての長さを $x \, \rm cm$ とすると，

横の長さ $=10-x\;$

と表せます。

したがって，$\rm B$ の底面の面積は，

たての長さ $\times$ 横の長さ $= x \times (\,10-x\,)$

$ = x(\,10-x\,)$$\,(\, \rm cm^2\,)$

解答$2.5\,\rm cm$

問題は，「$\rm B$ いっぱいに入る水の体積」と「$\rm A$ の水面の高さが $30 \, \rm cm$ までに入る水の体積」が同じとき，$\rm B$ の底面(長方形)の短いほうの辺の長さを求めよ，ということです。

$\rm B$ の底面積は (2) から，$x(\,10-x\,)$$\,(\, \rm cm^2\,)$ だから，
「$\rm B$ いっぱいに入る水の体積」は，

$x(\,10-x\,) \times 40=40x(\,10-x\,)$$\,(\,\rm cm^3\,)$ ・・・①

$\rm A$ の底面積は (1) から，$25$$\,(\,\rm cm^2\,)$ だから，
「$\rm A$ の水面の高さが $30 \, \rm cm$ までに入る水の体積」は，

$25 \times 30 =750$$\,(\,\rm cm^3\,)$ ・・・②

① ＝ ② だから，

$\begin{eqnarray}40x(\,10-x\,)&=&750\\[5pt]4x^2-40x+75&=&0\\[5pt](\,2x\,)^2+(\,-5-15\,)\times 2x+(\,-5\,)\times (\,-15\,)&=&0\\[5pt](\,2x-5\,)(\,2x-15\,)&=&0\\[5pt]x=\dfrac{\;5\;}{\;2\;},\;x&=&\dfrac{\;15\;}{\;2\;}\end{eqnarray}$

$0＜x＜10$ だから，どちらも辺の長さとしては適していますが，求めるのは短い方の辺の長さ(下の補足説明)なので，

$x=\dfrac{\;5\;}{\;2\;}=2.5$$\,(\,\rm cm\,)$

補足説明

(2)から，$\rm B$ の底面は，周の長さが $20 \, \rm cm$ の長方形だから，

たての長さ $+$ 横の長さ $=10$$(\,\rm cm\,)$

よって，短い方の長さは，たての長さと横の長さの和の半分 $(5 \rm cm)$ より小さい値になります。

また，$2$ 次方程式 $4x^2-40x+75=0$ は，解の公式で解いても良いです。

$\begin{eqnarray}4x^2-40x+75&=&0\\[5pt]x&=&\dfrac{\;-(-40) \pm \sqrt{(-40)^2-4 \times 4 \times 75}\;}{\;2 \times 4\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;40 \pm \sqrt{1600-1200}\;}{\;8\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;10 \pm 5\;}{\;2\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;15\;}{\;2\;},\;\dfrac{\;5\;}{\;2\;}\end{eqnarray}$

解答分速 $600$ $\rm m$

表や図 $2$ から，モノレールは $8$ 分間で $4800$ $\rm m$ 走行することがわかります。

よって，その速さは，

$4800 \div 8=600$ $(\,\rm m \, /$分$\,)$

速さ $=$ 道のり $\div$ 時間

解答(ア) $y=-600x+4800\quad$(イ) $y=600x-9600$

(ア)$0≦x≦4$ のとき

グラフは下の図の赤い部分になり，$y$ は $x$ の $1$ 次関数であるといえます。

上の図から，$x$ と $y$ の変化の様子は次の表のようになります。

$\begin{array}{c|ccc}\;\;x &\; 0 & \cdots & 8\;\, \\ \hline \;\;y & \;4800 & \cdots & 0\; \ \end{array}$

$x$ と $y$ の関係を表す式を $y=ax+b$ と表すと，

$a=\dfrac{\;0-4800\;}{\;8-0}=\dfrac{\;-4800\;}{8}=-600$

よって，求める式は $y=-600x+b$ となり，
さらに，この式に $x=8$，$y=0$ を代入して，

$0=-600 \times 8 +b$
$b=4800$

したがって，求める式は，

$y=-600x+4800$ $\;(\,0≦x≦8\,) $

※ 図から，グラフの切片が $4800$ であることは明らかです。

(イ)$4≦x≦8$ のとき

グラフは下の図の赤い部分になり，$y$ は $x$ の $1$ 次関数であるといえます。

上の図から，$x$ と $y$ の変化の様子は次の表のようになります。

$\begin{array}{c|ccc}\;\;x &\; 16 & \cdots & 24\;\, \\ \hline \;\;y & \;0 & \cdots & 4800\; \ \end{array}$

$x$ と $y$ の関係を表す式を $y=ax+b$ と表すと，

$a=\dfrac{\;4800-0\;}{\;24-16}=\dfrac{\;4800\;}{8}=600$

よって，求める式は $y=600x+b$ となり，
さらに，この式に $x=16$，$y=0$ を代入して，

$0=600 \times 16 +b$
$b=-9600$

したがって，求める式は，

$y=600x-9600$ $\;(\,16≦x≦24\,) $

解答$7$ 分後

花子さんが $13$ 時に $\rm B$ 駅を出発してから $x$ 分後の，$\rm B$ 駅から花子さんのいる地点までの道のりを $y\;\rm m$ として，$x$ と $y$ の関係のグラフ（赤）を図 $2$ に加えました。

まず，花子さんのグラフについて，$y$ を $x$ の式で表します。

グラフから，$y$ は $x$ の $1$ 次関数であり，$x$ と $y$ の変化の様子は次の表のようになります。

$\begin{array}{c|ccc}\;\;x &\; 0 & \cdots & 56\;\, \\ \hline \;\;y & \;0 & \cdots & 4800\; \ \end{array}$

$x=0$ のとき $y=0$ だから， $x$ と $y$ の関係を表す式は $y=ax$ と表せます。

この式に $x=56$，$y=4800$ を代入して，

$4800=a \times 56$

$a=\dfrac{\;600\;}{7}$

求める式は，

$y=\dfrac{\;600\;}{7}x$ $\;(\,0≦x≦56\,) $

グラフから，花子さんが初めてすれ違うモノレールは，$13$ 時に $\rm A$ 駅を出発したものです。

そのモノレールについて，$x$ と $y$ の関係を表す式は，(2)の(ア)から，

$y=-600x+4800$ $\;(\,0≦x≦8\,) $

よって，花子さんが初めてモノレールとすれ違った時刻は，次の連立方程式から求めることができます。

$\begin{eqnarray}\;\;\left\{\begin{array}{l}\;y=\dfrac{\;600\;}{7}x&\cdots①& \\[5pt]\;y=-600x+4800 &\cdots②& \end{array}\right.\end{eqnarray}\;\;$

①の右辺 $=$ ②の右辺だから，

$\begin{eqnarray}\dfrac{\;600\;}{7}x&=&-600x+4800\\[5pt]x&=&7\end{eqnarray}$

$x=7$ を ① に代入して，

$\begin{eqnarray}y&=&\dfrac{\;600\;}{7} \times 7 \\[5pt]&=&600\end{eqnarray}$

したがって，花子さんが花子さんが初めてモノレールとすれ違った時刻は，$13$ 時 $7$ 分，つまり，モノレールが $13$ 時に $\rm A$ 駅を出発してから，$7$ 分後です。

また，花子さんが初めてモノレールとすれ違った場所は，$B$ 駅から $600\;\rm m$ 離れています。

解答$1000$ $\rm m$

(3)の(ア) から，

花子さんのグラフの式は$\;\; y=\dfrac{\;600\;}{7}x$ $\;(\,0≦x≦56\,)\;\;$です。

グラフから，花子さんが追い越されたモノレールは，$13$ 時 $16$ 分に $\rm B$ 駅を出発したものです。

そのモノレールについて，$x$ と $y$ の関係を表す式は，(2)の(イ)から，

$y=600x-9600$ $\;(\,16≦x≦24\,) $

よって，花子さんがモノレールに追い越された場所は，次の連立方程式から求めることができます。

$\begin{eqnarray}\;\;\left\{\begin{array}{l}\;y=\dfrac{\;600\;}{7}x&\cdots①& \\[5pt]\;y=600x-9600 &\cdots②& \end{array}\right.\end{eqnarray}\;\;$

①の右辺 $=$ ②の右辺だから，

$\begin{eqnarray}\dfrac{\;600\;}{7}x&=&600x-9600\\[5pt]x&=&\dfrac{\;56\;}{3}\end{eqnarray}$

$x=\dfrac{\;56\;}{3}$ を ① に代入して，

$\begin{eqnarray}y&=&\dfrac{\;600\;}{7} \times \dfrac{\;56\;}{3} \\[5pt]&=&1600\end{eqnarray}$

したがって，花子さんがモノレールに追い越された場所は，$\rm B$ 駅から $1600\;\rm m$ 離れています。

(3)の(ア) から，花子さんが初めてモノレールとすれ違った場所は，$\rm B$ 駅から $600\;\rm m$ 離れているので，花子さんが初めてモノレールとすれ違ってから途中で追い越されるまでに歩いた道のりは，

$1600-600=1000\;\rm ( m )$

〈仮定〉∠ BAD $=$ ∠CAD，BG $/\!/$ DC
〈結論〉△ AEC ∽ △ BGC

〈証明〉

△ AEC と △ BGC で，

共通な角だから，

∠ ACE ＝ ∠ BCG $\quad$･･･①

仮定から，

∠ CAE ＝ ∠ BAE $\quad$･･･②

弧 BD に対する円周角だから，

∠ BAE ＝ ∠ BCD $\quad$･･･③

DC $/\!/$ BG より，平行線の錯覚だから，

∠ BCD ＝ ∠ CBG $\quad$･･･④

②，③，④ から，

∠ CAE ＝ ∠ CBG $\quad$･･･⑤

①，⑤ から，$2$ 組の角がそれぞれ等しいので，

△ AEC ∽ △ BGC

解答$3\;\rm cm$

「三角形の角の二等分線と比」の定理(下の右図)を使います。

上の左図から，

AB：AC $=$ BE：CE だから，

$\;4\;$：$\;6\;$ $=$ BE：CE

BE：CE $=$ $2$：$3$

よって，

CE $=$ BC $\times \dfrac{3}{\;2+3\;}$

$\,\;=5 \times \dfrac{\;3\;}{5}$

$\,\;=3$$\;(\,\rm cm\,)$

解答$\dfrac{\;16\;}{\;49\;}$ 倍

(2)の(ア) から，CE $=3\;(\,\rm cm\,)$ だから，

BE $=$ BC $-$ CE

$\,\;=5-3$

$\,\;=2\;(\,\rm cm\,)$ ･･････ ①

(1) から，△AEC ∽ △BCG だから，

AC：BC $=$ CE：CG

$\;6\;$：$\;5\;$ $=$ $\;3\;$：CG

$6\,\times\,$CG $=$ $5 \times 3$

$\,$CG $=\dfrac{\;5\;}{\;2\;}\;(\,\rm cm\,)$

よって，

AG $=$ AC $-$ CG

$\;\,=$ $\;6\;- \dfrac{\;5\;}{2}$

$\;\,=\dfrac{\;7\;}{\;2\;}\;(\,\rm cm\,)$ ･･････ ②

また，△BEF ∽ △AGF であり（証明は下の参考），

①，② からその相似比は，

BE：AG $=$ $2$：$\dfrac{\;7\;}{2}$

$\quad\;\; =$ $4$：$7$

よって，△BEF と △AGF の面積比は，

$4^{2}$：$7^{2}=16$：$49$

したがって，

△BEF $:$ △AGF $=16$：$49$

$\;\;49\times$△BEF $=$ $16\times$△AGF

$\;\;\,$△BEF $=\dfrac{16}{\;49\;}\times$△AGF

---

〔参考〕△ BEF ∽ △ AGF の証明

〈証明〉

△BEF と △ AGF で，

(1) から △ AEC ∽ △ BCG だから，

∠ CBG ＝ ∠ CAE

すなわち，

∠ EBF ＝ ∠ GAF $\quad$･･･①

対頂角だから，

∠ BFE ＝ ∠ AFG $\quad$･･･②

①，② から，$2$ 組の角がそれぞれ等しいので，

△ BEF ∽ △ AGF

解答$1999\;\;\rightarrow\;\;28\;\;\rightarrow\;\;10\;\;\rightarrow\;\;1\;$

$1999$ について作業を行います。

$1$ 回目の作業$\quad1+9+9+9=28$

$2$ 回目の作業$\quad2+8=10$

$3$ 回目の作業$\quad1+0=1$

よって，

$1999\quad\rightarrow\quad28\quad\rightarrow\quad10\quad\rightarrow\quad1$

解答$19,\,28,\,29$

$10$ 以上 $30$ 以下の自然数には，$1$ 回目の作業で終了するものと，$2$ 回目の作業で終了するものがあります。

$1$ 回目の作業で終了 $\cdots$ 一の位の数と十の位の数の和が $1$ 桁

$2$ 回目の作業で終了 $\cdots$ 一の位の数と十の位の数の和が $2$ 桁

$10$ 以上 $30$ 以下の自然数で，一の位の数と十の位の数の和が $2$ 桁になるのは，$19,\,28,\,29$ の$3$ 個です。

〔参考〕下は$10$ 以上 $30$ 以下のすべての自然数について作業を行ったものです。

・$10\quad\rightarrow\quad 1$

・$11\quad\rightarrow\quad 2$

・$12\quad\rightarrow\quad 3$

・$13\quad\rightarrow\quad 4$

・$14\quad\rightarrow\quad 5$

・$15\quad\rightarrow\quad 6$

・$16\quad\rightarrow\quad 7$

・$17\quad\rightarrow\quad 8$

・$18\quad\rightarrow\quad 9$

・$19\quad\rightarrow\quad 10\quad\rightarrow\quad1$

・$20\quad\rightarrow\quad 2$

・$21\quad\rightarrow\quad 3$

・$22\quad\rightarrow\quad 4$

・$23\quad\rightarrow\quad 5$

・$24\quad\rightarrow\quad 6$

・$25\quad\rightarrow\quad 7$

・$26\quad\rightarrow\quad 8$

・$27\quad\rightarrow\quad 9$

・$28\quad\rightarrow\quad 10\quad\rightarrow\quad1$

・$29\quad\rightarrow\quad 11\quad\rightarrow\quad1$

・$30\quad\rightarrow\quad 3$

解答ア$\;\;a+b+c$,$\quad$イ$\;\;27$,$\quad$ウ$\;\;19$

$3$ けたの自然数は，百の位の数が $a$，十の位の数が $b$，一の位の数が $c$ だから，

$1$ 回目の作業でできる自然数は，

$a+b+c\qquad$ア$a+b+c$

$a+b+c$ の値は，

$a=1,\;b=0,\;c=0$ のとき最小値 $1$

$a=9,\;b=9,\;c=9$ のとき最大値 $27$

になります。$\qquad$イ$27$

また，$a+b+c$ が $2$ けたの自然数のとき，

$1$ 回目の作業でできる自然数（$a+b+c$ の値）は，$10$ から $27$ までの自然数です。

このとき，(2) の〔参考〕から，

あと $2$ 回作業があるのは，$a+b+c=19$ のときだけです。$\qquad$ウ$19$

解答$199$

(3) の考え方で，$a+b+c=19$ になるものを数えます。

百の位の数が $1$ であるとは，$a=1$ であり，そのとき，

$\begin{eqnarray}1+b+c&=&19\\[5pt]b+c&=&18\end{eqnarray}$

になります。

$b$ と $c$ の値の組を $(\,b,\,c\,)$ と表すと，$b+c=18$ になるのは，

$(\,b,\,c\,)=(\,9,\,9\,)$

の $1$ 組だけなので，求める自然数は $199$ です。

解答$45\;$個

(3) の考え方で，全ての $3$ けたの自然数のうち，$a+b+c=19$ になるものを数えます。

$a=1$ のとき，(4)から，

$(\,b,\,c\,)=(\,9,\,9\,)\cdots \;1$ 個

$a=2$ のとき，$b+c=17$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,8,\,9\,),\,(\,9,\,8\,)\cdots \;2$ 個

$a=3$ のとき，$b+c=16$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,7,\,9\,),\,(\,8,\,8\,),\,(\,9,\,7\,)\cdots \;3$ 個

$a=4$ のとき，$b+c=15$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,6,\,9\,),\,(\,7,\,8\,),\,(\,8,\,7\,),\,(\,9,\,6\,)\cdots \;4$ 個

$a=5$ のとき，$b+c=14$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,5,\,9\,),\,(\,6,\,8\,),\,(\,7,\,7\,),\,(\,8,\,6\,),\,(\,9,\,5\,)\cdots \;5$ 個

$a=6$ のとき，$b+c=13$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,4\,9\,),\,(\,5,\,8\,),\,(\,6,\,7\,),\,(\,7,\,6\,),\,(\,8,\,5\,),\,(\,9,\,4\,)\cdots \;6$ 個

$a=7$ のとき，$b+c=12$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,3,\,9\,),\,(\,4,\,8\,),\,(\,5,\,7\,),\,(\,6,\,6\,),\,(\,7,\,5\,),\,(\,8,\,4\,),\,(\,9,\,3\,)\cdots \;7$ 個

$a=8$ のとき，$b+c=11$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,2,\,9\,),\,(\,3,\,8\,),\,(\,4,\,7\,),\,(\,5,\,6\,),\,(\,6,\,5\,),\,(\,7,\,4\,),\,(\,8,\,3\,),\,(\,9,\,2\,)\cdots \;8$ 個

$a=9$ のとき，$b+c=10$ だから，

$(\,b,\,c\,)=(\,1,\,9\,),\,(\,2,\,8\,),\,(\,3,\,7\,),\,(\,4,\,6\,),\,(\,5,\,5\,),\,(\,6,\,4\,),\,(\,7,\,3\,),\,(\,8,\,2\,),\,(\,9,\,1\,)\cdots \;9$ 個

よって，求める個数は，

$1+2+3+4+5+6+7+8+9=\dfrac{\;1+9\;}{2} \times 9 =45\;$(個)$\;\;$（下の解説参照）

〔連続する自然数の和について〕

$a$ から $b$ までの連続する $n$ 個の自然数について，

平均値 ＝ 合計(和) ÷ 個数 だから，

合計(和) ＝ 平均値 × 個数 で求められます。

また，連続するいくつかの自然数の平均値は，

最小の数$(a)$と最大の数$(b)$の平均値 $\dfrac{\;a+b\;}{2}$ になります。よって，

上の解法の $1$ から $9$ までの連続する $9$ 個の自然数の和は，

$\dfrac{\;1+9\;}{2} \times 9=5 \times 9 = 45$

と求めることができます。