岐阜県・公立高校入試 2022年度( 令和4年度 )解答・解説編

岐阜県立高校・入学試験学力検査・数学・2022年度

次の(1)~(6)の問いに答えなさい。

(1)$6-4\times(\,-2\,)\;\;$を計算しなさい。

解答・解説

解答$14$


$6\color{red}-4\times(\,-2\,)$乗法から先に計算します
$=6+8$
$=14$

(2)$3(-x+y)-(2x-y)\;\;$を計算しなさい。

解答・解説

解答$-5x+4y$

$3(-x+y)-(2x-y)$
$=-3x+3y-2y\color{red}+\color{black}y$
$=-3x-2x+3y+y$
$=-5x+4y$

(3)$x=5+\sqrt{\,3\,},\; y=5-\sqrt{\,3\,}\;$ のときの,式 $\;x^{2}+2xy+y^{2}\;\;$ の値を求めなさい。

解答・解説

解答$100$

$x+y=(5+\sqrt{\,3\,})+(5-\sqrt{\,3\,})$
$=5+5+\sqrt{\,3\,}-\sqrt{\,3\,}$
$=10$
よって、
$\;x+y=10\;$・・・・・・ ①

$\;x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$← ① を代入します
$=10^{2}$
$=100$

(4)$2$ 個のさいころを同時に投げるとき,出る目の積が $5$ の倍数になる確率を求めなさい。

解答・解説

解答$\dfrac{11}{\;36\;}$

$2$ 個のさいころを A、B とすると、目の出方は $6\times6=36$ (通り) です。
A の目と B の目の積を,すべて下の図に表します。

出る目の積が $5$ の倍数になる場合は,上図の塗りつぶしの $11$ 通りです。
よって,出る目の積が $5$ の倍数になる確率は,

$\dfrac{11}{\;36\;}$

(5)連立方程式$\quad\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}5x + 2y = 4 \\3x - y = 9 \end{array}\right.\end{eqnarray}\quad$を解きなさい。

解答・解説

解答$\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}x=2\\y=-3\end{array}\right.\end{eqnarray}$

$\quad\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}5x + 2y = 4&\cdots①& \\3x - y = 9 &\cdots②& \end{array}\right.\end{eqnarray}\;\;$

$\quad\begin{eqnarray}①\qquad\;\;\;\,\;\;\;\;\:5x+2y&=&4\\②\times2\;\;\;+)\;\;6x-2y&=&18\\\hline11x\qquad\;&=&22\\[2pt]x&=&2\end{eqnarray}$

$x=2\;$を①に代入して,

$\begin{eqnarray}5\times2+2y&=&4\\2y&=&-6\\y&=&-3\end{eqnarray}$

(6)下の図は,正四角すいの投影図である。立面図が正三角形,平面図が $1$ 辺の長さが $6$ cm の正方形であるとき,この正四角すいの体積を求めなさい。

解答・解説

解答$36\sqrt{\,3\,}$ (cm$^{3}$)

下の図は正四角すいの見取り図と投影図です。図のように頂点 A,B,C をとり,辺 BC の中点を 点 M,底面の対角線の交点を点 O とします。

ここで注意しなくてはいけないのは,

見取り図の 線分 AM の長さは,立面図の 線分 AB の長さと等しいこと

見取り図の 線分 AO の長さ(正四角すいの高さ)は,立面図の線分 AM の長さと等しいこと

です。

正四角すいの体積を求めるために,まず高さ(AO) を,立面図から求めます。

立面図の △ABM は,$3$ つの角が $30°$,$60°$,$90°$ の直角三角形 (下の図)です。

AB:BM:AM $=$ $2$:$1$:$\sqrt{\,3\,}$ $\quad$だから,
BM:AM $=$ $1$:$\sqrt{\,3\,}$
$3$:AM $=$ $1$:$\sqrt{\,3\,}$
AM$\times 1$ $=$ $3\times\sqrt{\,3\,}$
AM $=$ $3\sqrt{\,3\,}$ (cm)

よって,見取り図の線分 AO の長さ,
つまり正四角すいの高さは,$3\sqrt{\,3\,}$ (cm) です。

また,平面図から,正四角すいの底面は $1$ 辺が $6$ cm の正方形であり,その面積は,

$6\times6=36$ (cm$^{2}$)

したがって,

正四角すいの体積 $=$ 底面積 × 高さ(OA) × $\dfrac{1}{\;3\;}$

$= 36\times3\sqrt{\,3\,}\times\dfrac{1}{\;3\;}$

$=36\sqrt{\,3\,}$ (cm$^{3}$)


$2$ 次方程式 $\;\;x^{2}+ax-8=0\;\;$ について,次の(1),(2)の問いに答えなさい。

(1)$a=-1$ のとき,$2$ 次方程式を解きなさい。

解答・解説

解答$x=\dfrac{\,1\pm\sqrt{\,33\,}\,}{2}$

$a=-1$ のとき,式は,$x^{2}-x-8=0$ です。

差が $-1$ ,積が $-8$ である $2$ つの整数は存在しないので,解の公式で解きます。

$x^{2}-x-8=0$

$x=\dfrac{\,-(-1)\pm\sqrt{\,(-1)^{2}-4\times 1\times (-8)\,}\,}{2}$

$x=\dfrac{\,1\pm\sqrt{\,1+32\,}\,}{2}$

$x=\dfrac{\,1\pm\sqrt{\,33\,}\,}{2}$

(2)$x=1$ が $2$ 次方程式の $1$ つの解であるとき,

(ア)$a$ の値を求めなさい。

解答・解説

解答$a=7$

$2$ 次方程式 $\;x^{2}+ax-8=0\;$ に $x=1$ を代入して,

$1^{2}+a\times 1-8=0$

$1+a-8=0$

$a=7$

(イ)他の解を求めなさい。

解答・解説

解答$x=-8$

(ア)から $a=7$ です。このとき,式は,$x^{2}+7x-8=0$ です。

$x^{2}+7x-8=0$

$(x-1)(x+8)=0$

$x=1$ または $x=-8$

よって,他の解は $-8$


A 中学校のバスケットボール部は,ある日の練習で,全ての部員がそれぞれシュートを $5$ 回ずつ行い,成功した回数を記録した。図 1 は,その記録をもとに,成功した回数別の人数をグラフに表したものである。

次の (1) ~ (3) の問いに答えなさい。

(1)図 1 から,A 中学校のバスケットボール部の部員の人数を求めなさい。

解答・解説

解答$20$ 人

下はグラフ(ヒストグラム)を度数分布表にしたものです。

表から、A 中学校のバスケットボール部の部員の人数は $20$ 人です。

(2)図 1 から,成功した回数の平均値を求めなさい。

解答・解説

解答$1.9$ 回

下の度数分布表から,成功した回数の合計は $38$ 回です。

人数の合計は 20 人,成功した回数の合計は 38 回 なので,
成功した回数の平均値は,

$\dfrac{38}{\;20\;}=1.9$ (回)

(3)バスケットボール部に入部を予定している花子さんも,別の日にシュートを $5$ 回行い,成功した回数を記録した。花子さんの記録を 図 1 に表された記録に加え,成功した回数の平均値と中央値を求めると,$2$ つの値が等しくなった。花子さんの成功した回数を求めなさい。

解答・解説

解答$4$ 回

花子さんを加える前の $20$ 人の成功回数を,小さい順に全て並べます。

図 1

部員数の合計は $20$ 人 (偶数) なので,
中央値は,小さい方から $10$ 番目(図の⑩)と $11$ 番目(図の⑪)の平均です。

花子さんを加える前の中央値 $=\dfrac{\,2+2\,}{2}=2$

花子さんを加えた後の中央値について,花子さんの成功回数によって場合分けして考えます。
※ 図 2 ,3 の番号は,図 1 で部員につけた番号です。

〔1〕花子さんの成功回数が $0$ 回または $1$ 回のとき

図 2

図 2 のように,中央値は 部員⑩ の回数である $2$ になります。

〔2〕花子さんの回数が $2$ 回,$3$ 回,$4$ 回,$5$ 回のとき

図 3

図 3 のように,中央値は 部員⑪ の回数である $2$ になります。

〔1〕,〔2〕から,
花子さんの成功回数が何回だったとしても,花子さんを加えた後の成功回数の中央値は $2$ です。

次に,花子さんの成功回数を $x$ 回だとすると,
(2) の表から,花子さんを加える前の成功回数の合計は $38$ で,
花子さんを加えた後の部員数は $(20+1=)\;21$ 人なので,

花子さんを加えた後の平均値は $\dfrac{\;38+x\;}{21}$と表せます。

問題文から「花子さんを加えた後,平均値と中央値が等しくなった」ので,

$\dfrac{\;38+x\;}{21}=2$

$38+x=42$

$x=4$


下の図のような台形 ABCD がある。点 P,Q が同時に A を出発して,P は秒速 $2$ cm で台形の辺上を A から B まで動き,B で折り返して A まで動いて止まり,Q は秒速 $1$ cm で台形の辺上を A から D を通って C まで動いて止まる。P,Q が A を出発してから $x$ 秒後の △APQ の面積を $y$ cm$^{2}$ とする。

次の (1) ~ (4) の問いに答えなさい。

(1)表中の に当てはまる数を求めなさい。

(1) の 解答・解説

解答 $16$   $8$

$x=4$ のとき,下の図のようになります。

このとき,

$y=8\times 4\times \dfrac{1}{\;2\;} = 16$16


$x=6$ のとき,下の図のようになります。

このとき,

$y=4\times 4 \times \dfrac{1}{\;2\;} = 8$8

(2)$x$ の変域を次の (ア),(イ) とするとき,$y$ を $x$ の式で表しなさい。

(ア)$0≦x≦4$ のとき

(イ)$4≦x≦8$ のとき

(2) の 解答・解説

解答(ア) $y=x^{2}\quad$(イ) $y=-4x+32$

(ア)$0≦x≦4$ のとき

P は 辺 AB 上を,Q は 辺 AD 上を下の図のように移動しています。

△ APQ は,底辺が $2x$ (cm) ,高さが $x$ (cm) の直角三角形だから,

$y=2x \times x \times \dfrac{\;1\;}{2}$

$=x^{2}$

よって,求める式は式 $\;\;y=x^{2}$ $\;(\,0≦x≦4\,) $


(イ)$4≦x≦8$ のとき

P は 辺 AB 上を,Q は 辺 CD 上を下の図のように移動しています。
※ P は $4$ 秒後に頂点 B に着き,折り返して頂点 A に向かっています。

△ APQ は,底辺が $16-2x$ (cm) ,高さが $4$ (cm) の三角形だから,

$y=(16-2x)\times 4 \times \dfrac{\;1\;}{2}$

$=-4x+32$

よって,求める式は式 $\;\;y=-4x+32$ $\;(\,4≦x≦8\,) $

上の図の AP は,A → B → A の $16$ (cm) から,
それまでに P が移動した長さ AB$\;+\;$BP$=2x$ (cm) を引いた長さになります。

(3)$x$ と $y$ の関係を表すグラフを書きなさい。( $0≦x≦8$ )

解答・解説

解答

解説

(2) から,

$0≦x≦4$ の範囲では,$y=x^{2}$ のグラフ(放物線)

$4≦x≦8$ の範囲では,$y=-4x+32$ のグラフ(直線)

になります。

(4)△APQ の面積と,台形ABCD から △APQ を除いた面積の比が,$3:5$ になるのは,P,Q が A を出発してから何秒後と何秒後であるかを求めなさい。

解答・解説

解答(ア) $y=x^{2}\quad$(イ) $y=-4x+32$

台形ABCD の面積は,$(4+8)\times 4 \times \dfrac{1}{\;2\;}=24$ cm$^{2}\;$ です。

また,(3) から,△APQ の面積は,$4$ 秒後に最大( $16$ cm$^{2}$ )になります(下図)。

このとき,△APQ の面積は,台形ABCD から △APQ を除いた面積よりも大きくなります。
よって,△APQ の面積と,台形ABCD から △APQ を除いた面積の比が,$3:5$ になるのは,

$0≦x≦4$ のときと,$4≦x≦8$ のときにそれぞれ $1$ 回ずつあることが分かります。


以下,△APQ の面積を $S\small 1$,台形ABCD から △APQ を除いた面積を $S\small 2$ と表します。

〔1〕$0≦x≦4$ のとき

$S\small 1$:$S\small 2\normalsize=x^{2}$:$(24-x^{2})$

求めるのは,$S\small 1$:$S\small 2\normalsize=3$:$5$ になるときだから,

$x^{2}$:$(24-x^{2})=3$:$5$

$5x^{2}=3(24-x^{2})$

$x^{2}=9$

$x=\pm 3$

$0≦x≦4$ だから,$x=3$ よって $3$ 秒後

〔2〕$4≦x≦8$ のとき

$S\small 1$:$S\small 2\normalsize=(-4x+32)$:$\{24-(-4x+32)\}$

求めるのは,$S\small 1$:$S\small 2\normalsize=3$:$5$ になるときだから,

$(-4x+32)$:$\{24-(-4x+32)\}=3$:$5$

$5(-4x+32)=3(4x-8)$

$-20x+160=12x-24$

$x=\dfrac{\;23\;}{4}=5.75$

$4≦x≦8$ だから適している。よって $5.75$ 秒後

〔1〕,〔2〕から,$S\small 1$:$S\small 2\normalsize=3$:$5$ になるのは $3$ 秒後と$5.75$ 秒後です。


別 解

△APQ の面積と,台形ABCD から △APQ を除いた面積の比が,$3:5$ になるということは,

△APQ の面積と,台形ABCD の面積の比が,$3:(3+5)$ すなわち $3:8$ になるということです。

〔1〕$0≦x≦4$ のとき

△ APQ : 台形ABCD$=x^{2}:24$ だから,

$x^{2}:24=3:8$

$8x^{2}=72$

$x^{2}=9$

$x=\pm 3$

$0≦x≦4$ だから,$x=3$ よって $3$ 秒後

〔2〕$4≦x≦8$ のとき

△ APQ : 台形ABCD$=-4x+32x^{2}:24$ だから,

$(-4x+32):24=3:8$

$8(-4x+32)=72$

$x=\dfrac{\;23\;}{4}=5.75$

$4≦x≦8$ だから適している。よって $5.75$ 秒後

〔1〕,〔2〕から,$S\small 1$:$S\small 2\normalsize=3$:$5$ になるのは $3$ 秒後と$5.75$ 秒後です。


下の図の △ ABC で,点 D は ∠ ABC の二等分線と辺 AC との交点である。
また、点 E は線分 BD の延長線上の点で、CD $=$ CE である。

次の (1),(2) の問いに答えなさい。

(1)△ ABD ∽ △CBE であることを証明しなさい。

解答

〈仮定〉∠ ABD $=$ ∠CBD,CD $=$ CE
〈結論〉△ ABD ∽ △ CBE

〈証明〉

△ ABD と △ CBE で,

仮定から,∠ABD = ∠CBE・・・・・・①

対頂角は等しいので,
∠ ADB = ∠ CDE・・・・・・②

△ CDE は二等辺三角形だから,
∠ CDE = ∠ CEB・・・・・・③

②,③ から,∠ ADB = ∠ CEB・・・・・・④

①,④ から,$2$ 組の角がそれぞれ等しいので,
△ ABD ∽ △ CBE

大問5の解答解説図形1

(2)AB $=4$ cm,BC $=5$ cm,CA $=6$ cm のとき,

(ア)CE の長さを求めなさい。

解答・解説

解答$\dfrac{\;10\;}{3}$ cm

CE の長さを直接求めることはできませんが,
仮定から CD $=$ CE だから,CD の長さを求めます。

「三角形の角の二等分線と比」の定理(下の右図)を使います。

上の左図から,

BA:BC $=$ AD:CD だから,
AD:CD $=$ $4$:$5$ です。

よって,

BA:BC $=$ AD:CD だから,

$\;4\;$:$\;5\;$ $=$ AD:CD

AD:CD $=$ $4$:$5$

CD = AC $\times \dfrac{5}{\;4+5\;}=6 \times \dfrac{\;5\;}{9}=\dfrac{\;10\;}{\;3\;}$

また,CD $=$ CE だから,

CE $=\dfrac{\;10\;}{3}$ (cm)

(イ)△ ABE の面積は,△ CDE の面積の何倍であるかを求めなさい。

解答・解説

解答$\dfrac{\;16\;}{5}$ 倍

AB $:$ CB $=4:5$ だから,

△ABD と △CBE の相似比は $4:5$ ・・・・・・ ①

①から,

△ABD と △CBE の面積比は $4^{2}:5^{2}=16:25$

△ABD $:$ △CBE $=16:25$

$25\times$△ABD $=$ $16\times$△CBE

△ABD $=\dfrac{16}{\;25\;}\times$△CBE …… ②

また,①から,

BD $:$ BE $=4:5$

DE $:$ BE $=(5-4):5=1:5$

よって,△CDE と △CBE の面積比は $1:5$

△CDE $:$ △CBE $=1:5$

$5\times$△CDE $=$ $1\times$△CBE

△CDE $=\dfrac{1}{\;5\;}\times$△CBE …… ③

②,③から,

△ABD $:$ △CDE $=$ $\dfrac{16}{\;25\;}\times$△CBE $:$$\dfrac{1}{\;5\;}\times$△CBE

△ABD $:$ △CDE $=16:5$

$5\times$△ABD $=$ $16\times$△CDE

△ABD $=$ $\dfrac{\;16\;}{5}\times$△CDE

したがって,△ABD の面積は,△CDE の $\dfrac{\;16\;}{5}$ 倍です。


大きな白い紙に,正方形の形に並ぶように連続した自然数を書いていく。まず,$1$ 回目の作業として,$1$ のみを書き,以降,次の作業を繰り返し行う。

【作業】すでに正方形の形に並んでいる自然数の下側に $1$ 行,右側に $1$ 列を加え,再び正方形の形に並ぶように新たな自然数を書く。自然数は,前の作業で書いた自然数の続きから,まず左下から右下へ,次に右下から右上へ小さい順に書く。

$\;\;\;$下の図は,$1$ 回目から $3$ 回目までの作業後の結果である。例えば,$3$ 回目の作業については,新たに書いた自然数は $5$ 個であり,正方形の右下に書いた自然数は $7$ である。

次の (1) ~ (3) の問いに答えなさい。

(1)$5$ 回目の作業について,

(ア)新たに書く自然数の個数を求めなさい。

(イ)正方形の右下に書く自然数を求めなさい。

(1) の解答・解説

解答(ア) $9$ 個,(イ) $21$

実際に $5$ 回目の作業まで書いてみます。

上の図から,$5$ 回目の作業で新たに書く数は $17$ から $25$ までの自然数です。

その個数は

$25-17+1=9$ (個)$9$ 個

また,上の図から,右下に書く自然数は $21$ です。$21$


実際に書いていく方法では,作業の回数が多くなると対応できません。しかし現実的には,とりあえず (1) だけでも解ければよい,という状況になる場合が多いのではないかと思います。そういった場合は迷わず書いてしまって良いと思います。
「なんらかの規則性に気づかなくては解けない」と思い込んだり考え込んだりせずに,とにかく書いてみる。実際に書いてみると規則性に気づくこともあります。

規則性( $n$ 回目の作業 )については,(2) でくわしく解説します。

(2)次の文章は,$n$ が $2$ 以上であるときの $n$ 回目の作業で新たに書く自然数について,太郎さんが考えたことをまとめたものである。 に $n$ を使った式を,それぞれあてはまるように書きなさい。

$\;\;\;$$n$ 回目の作業で書く最も大きい自然数は である。
$\;\;\;$また,$( n-1 )$ 回目の作業で書く最も大きい自然数は であるから,$n$ 回目の作業では新たに () 個の連続した自然数を書くことになる。
$\;\;\;$したがって,$n$ 回目の作業で,正方形の右下に書く自然数は, である。

解答・解説

解答$\;\;n^{2}$,$\quad$$\;\;(n-1)^{2}$,$\quad$$\;\;2n-1$,$\quad$$\;\;n^{2}-n+1$

〔1〕最も大きい自然数(以降「最大の数」と表す)について

$n$ 回目の作業で出来る正方形の一辺には,$n$ 個の自然数が並んでいます。
よって,$n$ 回目の作業で出来る正方形に含まれる自然数は,

合計で,$n \times n=n^{2}$ (個)です。

つまり,$1$ から $n^{2}$ までの自然数が並んでいることになります。
したがって,最大の数は $n^{2}$ で,右上にあります。 $n^{2}$

〔2〕$n$ 回目の作業で新たに書く自然数の個数(以降「新たに書く個数」と表す)について

〔1〕から,

$(n-1)$ 回目の作業で書いた最大の数は,$(n-1)^{2}$  $(n-1)^{2}$
つまり,$1$ から $(n-1)^{2}$ までの自然数が含まれています。

$n$ 回目の作業で書いた最大の数は,$n^{2}$
つまり,$1$ から $n^{2}$ までの自然数が含まれています。

よって,$n$ 回目の作業で,新たに書く個数は,

$n$ 回目までに書いた個数 $-$ $(n-1)$ 回目までに書いた個数

$=n^{2}-(n-1)^{2}$

$=2n-1$ (個) です。  $2n-1$

〔3〕$n$ 回目の作業で正方形の右下に書く自然数(以降「右下に書く数」と表す)について

各作業目で書く自然数は,左下から右へ書き進めるので,
$n$ 回目の作業で右下に書く数は,$n$ 回目の作業で $n$ 番目に書く数,
すなわち,$(n-1)$ 回目の最後の自然数に $n$ を加えた自然数です。

$(n-1)$ 回目の作業で最後に書く数は $(n-1)^{2}$ だから,
$n$ 回目の作業で $n$ 番目に書く数は,

$(n-1)^{2}+n=n^{2}-n+1$ です。$n^{2}-n+1$


参 考

作 業 最大の数
(右上)
新たに書く
自然数の個数
右下の数
$1$ 回目 $1=1^{2}$ $1$ $1$
$2$ 回目 $4=2^{2}$ $3$ $3$
$3$ 回目 $9=3^{2}$ $5$ $7$








$n$ 回目 $n^{2}$ $n^{2}-(n-1)^{2}$
$=2n-1$
$(n-1)^{2}+n$
$=n^{2}-n+1$

(3)$10$ 回目の作業について,

(ア)正方形の右下に書く自然数を求めなさい。

解答・解説

解答$91$

(2) の から,$10$ 回目の作業で正方形の右下に書く自然数は,
$n^{2}-n+1$ に $n=10$ を代入して,

$10^{2}-10+1=91$

(イ)新たに書く自然数の和を求めなさい。

解答・解説

解答$1729$

まず$10$ 回目の作業で,新たに書く自然数について調べます。

はじめの数(左下)は,$9$ 回目の作業の最大の自然数より $1$ 大きい。
(2) の から,$9$ 回目の作業の最大の自然数は $9^{2}=81$ だから,

・はじめの数(右下)は,$81+1=82$

・最後の数(右上)は,(2) の から,$10^{2}=100$

・書いた数の個数は,$100-82\color{red}+1\color{black}=19$ (個)
( または,(2) の から,$2 \times 10-1=19$ )

よって,$10$ 回目の作業で新たに書く自然数の和は,

$82$ から $100$ までの連続した $19$ 個の自然数の和 になります。

$\dfrac{\;82+100\;}{2}\times 19=1729\;$(※下の解説を参照)


〔連続する自然数の和について〕

$a$ から $b$ までの連続する $n$ 個の自然数について,

平均値 = 合計(和) ÷ 個数 だから,

合計(和) = 平均値 × 個数 で求められます。

また,連続するいくつかの自然数の平均値は,

最小の数$(a)$と最大の数$(b)$の平均値 $\dfrac{\;a+b\;}{2}$ になります。よって,

$a$ から $b$ までの連続する $n$ 個の自然数の和は,

$\dfrac{\;a+b\;}{2} \times n$