20520中2・三角形と四角形・証明問題 20

三角形と四角形

直角三角形

証明問題

問題 20

図の△ABC は,AB = AC の直角二等辺三角形である。
△ ABC の直角の頂点 A を通る直線 $\ell$ に,B,C からそれぞれ垂線 BD,CE をひく。このとき,

BD + CE = DE

であることを証明しなさい。

解 答

〈仮定〉AB = CA,∠BAC = ∠ADB = ∠CEA = 90°
〈結論〉BD + CE = DE

〈証明〉
△ADB と △CEA で,

仮定から,∠ADB = ∠CEA = 90° ・・・・・・①
AB = CA ・・・・・・②

△ABD の内角の和は 180° だから,
 ∠ABD = 180° - ( ∠ADB + ∠BAD )
= 180° - ( 90° + ∠BAD )
= 90° - ∠BAD・・・・・・③

∠DAE = 180° だから,
 ∠CAE = 180° - ( ∠BAC + ∠BAD )
= 180° - ( 90° + ∠BAD )
= 90° - ∠BAD・・・・・・④

③,④から,∠ABD = ∠CAE・・・・・・⑤

①,②,⑤から,斜辺と 1 鋭角がそれぞれ等しい直角三角形なので,
 △ADB ≡ △CEA

合同な三角形の対応する辺だから,
 BD = AE,AD = CE

よって,BD + CE = AE + AD
= DE