20502中2・三角形と四角形・証明問題 02

三角形と四角形

二等辺三角形

証明問題

定理:二等辺三角形の性質

二等辺三角形の頂角の二等分線は,
底辺を垂直に二等分する。

定理:「二等辺三角形の頂点の二等分線は底辺を垂直に二等分する」の証明

図の△ABC は,AB = AC の二等辺三角形で,
線分 AD は ∠A の二等分線である。
このとき,

線分AD は 底辺 BC を垂直に二等分する

ことを証明しなさい。

解 答

〈仮定〉AB = AC,∠BAD = ∠CAD
〈結論〉AD ⊥ BC,BD = CD

〈証明〉
△ABD と △ACD で,

仮定から,AB = AC・・・・・・①

AD は頂角 A の二等分線だから,
∠BAD = ∠CAD・・・・・・②

共通な辺だから,AD = AD・・・・・・③

①,②,③から,2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABD ≡ △ACD

合同な三角形の対応する辺と角だから
BD = CD・・・・・・④
∠B = ∠C・・・・・・⑤

また,∠ADB + ∠ADC = 180°・・・・・・⑥

⑤,⑥から,∠ADB = 180° × $\frac{\mathsf{1}}{\mathsf{2}}$ = 90°
よって,AD ⊥ BC・・・・・・⑦

④,⑦から,∠A の二等分線 AD は,底辺 BC を垂直に二等分する。