岐阜県・公立高校入試 2019年度( 平成31年度 )問題編

岐阜県立高校・入学試験学力検査・数学・2019年度

次の(1)~(6)の問いに答えなさい。

(1)$10-4^{2}\;\;$を計算しなさい。

(2)$4(\,2a+b\,)-2(\,a-3b\,)\;\;$を計算しなさい。

(3)$x=\sqrt{\,2\,}+3\quad$のときの,式$\quad x^{2}-6x+9\quad$の値を求めなさい。

(4)ある養殖池にいるアユの数を推定するために,その養殖池で $47$ 匹のアユを捕獲し,その全部に目印をつけて戻した。数日後に同じ養殖池で $27$ 匹のアユを捕獲したところ,目印のついたアユが $3$ 匹いた。この養殖池にいるアユの数を推定し,十の位までの概数で求めなさい。

(5)関数 $y=4x+5$ について述べた文として正しいものを,次のア~エの中からすべて選び,符号で答えなさい。

グラフは点 $(\;4,\;5\;)$ を通る。

グラフは右上がりの直線である。

$x$ の値が $-2$ から $1$ まで増加するときの $y$ の増加量は $4$ である。

グラフは,$y=4x$ のグラフを,$y$ 軸の正の向きに $5$ だけ平行移動させたものである。

(6)直線 $\ell$ 上の点 A を通り,直線 $\ell$ に垂直な直線を,定規とコンパスを使って作図しなさい。なお,作図に用いた線は消さずに残しなさい。


右の図のように,関数 $y=ax^{2}$ のグラフと直線 $\ell$ が,$2$ 点 A,B で交わっている。A の座標は $(\;-1,\;2\;)$ で,B の $x$ 座標は $2$ である。

次の (1) ~ (3) の問いに答えなさい。

(1)$a$ の値を求めなさい。

(2)直線 $\ell$ の式を求めなさい。

(3)△AOB の面積を求めなさい。

図

右の図のように,袋の中に,赤玉 2 個と白玉 2 個が入っている。それぞれの色の玉には,1,2 の数字が $1$ つずつ書かれている。玉をかき混ぜてから $1$ 個取り出し,それを袋に戻してかき混ぜ,また $1$ 個取り出すとき,次の (1) ~ (3) の問いに答えなさい。

(1)$2$ 回とも白玉が出る確率を求めなさい。

(2)$2$ 回とも同じ色の玉が出る確率を求めなさい。

(3)$1$ 回目と $2$ 回目で,色も数字も異なる玉が出る確率を求めなさい。

図

ある工場では,機械 A と機械 B をそれぞれ $1$ 台ずつ使って,製品 P と製品 Q を作っている。それぞれの機械は,どちらの製品も作ることができるが,両方の製品を同時につくることはできない。
A だけを使って Q だけを作ると,P だけをつくるときに比べて,$1$ 時間につくることができる製品の個数は $2$ 割多い。また,B を使って Q だけを作ると,P だけを作るときに比べて $1$ 時間につくることができる製品の個数は $1$ 割少ない。
A と B の両方を使って,P だけを作ると $1$ 時間に $55$ 個でき,Q だけを作ると $1$ 時間に $57$ 個できる。

次の (1),(2) の問いに答えなさい。

(1)A と B のうち,どちらか $1$ 台を使って $1$ 時間に作ることができる製品の個数を,太郎さんは次のように求めた。 には $x$ を使った式を, には $y$ を使った式を, にはそれぞれあてはまるように書きなさい。

A を使って $1$ 時間に作ることができる製品の個数について,P だけを作るときを $x$ 個とすると,Q だけを作るときは $2$ 割多いので 個と表すことができる。
た,B を使って $1$ 時間に作ることができる製品の個数について,P だけを作るときを $y$ 個とすると,Q だけを作るときは $1$ 割少ないので 個と表すことができる。
$1$ 時間に作ることができる製品の個数から連立方程式をつくると,

$\;\left\{\begin{array}{l}\;\quad\, x \quad\, + \quad\; y \quad\,=55\\ \;\sf\framebox[1.5cm][c]{ア}+\framebox[1.5cm][c]{イ}=\rm 57\end{array}\right.\;$

となる。これを解くと,$x=$ ,$y= $ となる。
って,A と B のうち,どちらか1台を使って1時間に作ることができる製品の個数は,下の表のようになる。

A B
P だけを作るとき(個)
Q だけを作るとき(個)

(2)別の工場では,A と B をそれぞれ複数台使って,Q だけを $1$ 時間に $600$ 個作っている。このとき,A の台数を全て求めなさい。


下の図のように,四角形 ABCD の $4$ つの頂点 A,B,C,D が円 O の周上にある。線分 AC と BD の交点を E とする。また,E を通り辺 BC と平行な直線と辺 AB との交点を F とする。

次の (1),(2) の問いに答えなさい。

(1)△ACD ∽ △EBF であることを証明しなさい。

(2)AC が円 O の直径で,OA $=6$ cm,BC $=3$ cm,CE $=2$ cm のとき,

(ア)AB の長さを求めなさい。

(イ)BF の長さを求めなさい。

(ウ)△ACD の面積を求めなさい。


図 1 のように,$1$ 辺の長さが $1$ cm の正方形のカードをすき間なく並べて順番に図形を作る。段の数は,順に $1$ 段ずつ増やし,一番下の段のカードの枚数は,順に $2$ 枚ずつ増やす。

次の (1) ~ (4) の問いに答えなさい。

(1)5 番目の図形について,

(ア)一番下の段のカードの枚数を求めなさい。

(イ)周の長さを求めなさい。

(2)$n$ 番目の図形について,

(ア)一番下の段のカードの枚数を,$n$ を使った式で表しなさい。

(イ)周の長さを,$n$ を使った式で表しなさい。

(3)次の文章は,カードの総数について,花子さんの考えをまとめたものである。に $n$ を使った式をあてはまるように書きなさい。

3 番目の図形のカードの総数は,数えると $9$ 枚である。図 2 のように,3 番目の図形と,それをひっくり返した図形を組み合わせた図形を作り,計算で求めることもできる。図 2 の図形では,カードが $6$ 枚ずつ $3$ 段あるから,総数は $18$ 枚である。よって,3 番目のカードの総数は $9$ 枚である。

同じように考えると,$n$ 番目の図形のカードの総数は,枚となる。

(4)カードとカードの境目の長さの和は,3 番目の図形では $10$ cm である。$n$ 番目の図形では何 cm であるかを求めなさい。