岐阜県・公立高校入試 2018年度( 平成30年度 )解答・解説編

岐阜県立高校・入学試験学力検査・数学・2018年度

岐阜県・2018年度(平成30年度)解答・解説編

次の(1)~(6)の問いに答えなさい。

(1)$9-6\times 2\;\;$を計算しなさい。

解答・解説

解答-3


$9\;\color{red}{-\;6\times 2}$←まず乗法から計算します
$=9-12$
$=-3$

(2)$12ab\div\dfrac{\;3\;}{4}b\;\;$を計算しなさい。

解答・解説

解答$16a$


$12ab\div\dfrac{\;3\;}{4}b$
$=\cancel{18}a\cancel{b}\;\color{red}{\times\;\dfrac{4}{\cancel{3b}}}$ ←$\dfrac{3}{\;4\;}b\;$を逆数にしてかけます
$=4a\times 4$
$=16a$

(3)$(\;\sqrt{3}-\sqrt{2}\;)^{2}\;\;$を計算しなさい。

解答・解説

解答$5-2\sqrt{6}$


$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$
$=(\sqrt{3})^{2}-2\sqrt{3}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}$
$=3-2\sqrt{6}+2$
$=5-2\sqrt{6}$

(4)$y$ が $x$ に反比例し,$x$ = 4 のとき $y$ = 3 である。$x$ と $y$ の関係を式で表しなさい。

解答・解説

解答$y=\dfrac{\;12\;}{x}$

$y$ は $x$ に反比例するから,比例定数を $a$ とすると,

求める式は $y=\dfrac{a}{\;x\;}$ と表される。

この式に $x$ = 4,$y$ = 3 を代入して,

$3=\dfrac{a}{\;4\;}$

$a=12$

よって,$y=\dfrac{\;12\;}{x}$

(5)下の図で,4 点 A,B,C,D は円 O の周上にあり,AC は 円 O の直径である。∠CAD = 72° のとき,$x$ の値を求めなさい。

解答・解説

解答$18°$

下の図のように線分 BC をかきます。

$\sf\stackrel{\huge\frown}{CD}$ に対する円周角だから(図 1),

∠CBD = ∠DAC = 72°

また,線分 AC は円 O の直径で,半円の弧に対する円周角だから(図 2),

∠ABC = 90°

よって,$x$ = ∠ABC - ∠CBD
= 90 - 72
= 18 (°)

(6)2 個のさいころを同時に投げとき,出る目の数の和が 5 の倍数になる確率を求めなさい。

解答・解説

解答$\dfrac{7}{36}$

2 個のさいころの目の出方は 6 × 6 = 36(通り)です。
そのすべての場合について,2 個のさいころの出る目の数の和を下の表に示します。

表から, 出る目の数の和が 5 になる場合は 4 通り,
出る目の数の和が 10 になる場合は 3 通りあります。

よって,求める確率は,$\sf\dfrac{\;4+3\;}{36}=\dfrac{7}{\;36\;}$


ある中学校で読書週間中に,それぞれの生徒が読んだ本の冊数を調べた。右の図は,1 年 1 組の結果をヒストグラムに表したものである。ただし,1 年 1 組の生徒で読んだ本が 8 冊以上の生徒はいない。

次の (1) ~ (3) の問いに答えなさい。

図

(1)1 年 1 組の生徒の総数は何人であるかを求めなさい。

解答・解説

解答30 人

ヒストグラムを度数分布表にします。

求める人数は,表の度数の合計です。

$\sf 2+7+3+4+5+4+3+2=30$(人)

(2)1 年 1 組のそれぞれの生徒が読んだ本の冊数の中央値を求めなさい。

解答・解説

解答3 冊

ヒストグラムを度数分布表にします。

(1) から,人数の合計は 30 人なので,
中央値は冊数の少ない方から 15 人目と 16人目の平均になります。
表の累積度数から,2 冊までが 12 人,3冊までが 16 人なので,
少ない方から 15 人目と 16 人目はともに 3 冊の階級になります。

よって,中央値は,$\sf\dfrac{\;3+3\;}{2}=3$(冊)です。

(3)この中学校の生徒の総数は 200 人である。この中学校の生徒で読んだ本が 3 冊以上の生徒の相対度数と 1 年 1 組の生徒で読んだ本が 3 冊上の生徒の相対度数は,同じ値であった。この中学校の生徒で読んだ本が 3 冊上の生徒は何人であるかを求めなさい。

解答・解説

解答120 人

ヒストグラムを度数分布表にします。

表から,1 年 1 組の生徒で 3 冊以上読んだ生徒の合計は 18 人なので,
その相対度数は,$\sf\dfrac{18}{\;30\;}=0.6\;$です。

これが,この中学校全体の 3 冊以上読んだ生徒の相対度数と等しいので,
この中学校の生徒で読んだ本が 3 冊上の生徒数は,

$\sf 200\times 0.6=120$(人)


商品 A は,1 個 120 円で売ると 1 日あたり 240 個売れ,1 円値下げするごとに 1 日あたり 4 個多く売れるものとする。

次の (1)~(3) の問いに答えなさい。

(1)1 個 110 円で売るとき, 1 日で売れる金額の合計はいくらになるかを求めなさい。

解答・解説

解答30800 円

1 個 120 円で売ると 1 日あたり 240 個売れます。

1 個 110 円で売るとき,値下げした金額は,120 - 110 = 10(円)です。
1 円値下げするごとに 4 個多く売れるから,
10 円値下げすると,4 × 10 = 40(個)多く売れます。
つまり,1 個 110 円では ( 240 + 40 ) 個売れることになります。

よって,1日で売れる金額の合計は, 110 × ( 240 + 40 ) = 30800(円)

(2)$x$ 円値下げするとき,1 日あたり何個売れるかを,$x$ を使った式で表しなさい。

解答・解説

解答4$x$ + 240(個)

1 円値下げするごとに 4 個多く売れるから,
$x$ 円値下げすると,4 × $x$ = 40$x$(個)多く売れます。
よって,40$x$ + 240(個)売れます。

(3)1 個 120 円で売るときよりも,1 日で売れる金額の合計を 3600 円増やすためには,1 個何円で売るとよいかを求めなさい。

解答・解説

解答90(円)

$x$ 円値下げするとします。
その場合,(2)から売れる個数は,4$x$ + 240(個)なので,
1 日で売れる金額の合計は,

( 120 - $x$ )( 4$x$ + 240) 円 ・・・ ①

1 個 120 円で売るときの 1 日で売れる金額の合計は,

120 × 240(円)… ②

値下げしたときの合計金額 - 1 個120 円で売ったときの合計金額 = 3600

となればよいので,①,②から,

( 120 - $x$ )( 4$x$ + 240) - 120 × 240 = 3600
$x^{2}$ - 60$x$ + 900 = 0
($x$ - 30)$^{2}$ = 0
$x$ = 30

よって,30 円値下げすればよいことが分かります。
したがって,120 - 30 = 90(円)で売るとよい。


《 方程式の計算例 》

$(120-x)(4x+240)-120\times 240=3600$
$-(x-120)\times 4(x+60)-120\times 240=3600$
$\color{red}{\cancel{\color{black}{-4}}}\color{black}{(x-120)(x+60)}\color{red}{\cancel{\color{black}{-120}}}\color{black}{\times 240=}\color{red}{\cancel{\color{black}{3600}}}\quad$← 両辺を $-4$ で割ります
$(x-120)(x+60)+7200=-900$
$x^{2}-60x-7200+7200+900=0$
$x^{2}-60x+900=0$


学校から公園までの 1400 m の真っ直ぐな道を通り,学校と公園を走って往復する時間を計ることにした。A さんは学校を出発してから 8 分後に公園に到着し,公園に到着後は速さを変えて走って戻ったところ,学校を出発してから 22 分後に学校に到着した。ただし,A さんの走る速さは,公園に到着する前と後でそれぞれ一定であった。

次の (1),(2) の問いに答えなさい。

(1)A さんが学校を出発してから $x$ 分後の,学校から A さんまでの距離を $y$ m とすると,$x$ と $y$ との関係は下の表のようになった。

(ア)表中の に当てはまる数を求めなさい。

解答・解説

解答ア 350,イ 1200

問題文より,A さんの走る速さは,公園に到着する前と後でそれぞれ一定です。

公園に到着するまでの 8 分間で 1400 m 走ったので,
その時( 0 ≦ $x$ ≦ 8 )の速さは,1400 ÷ 8 = 175 (m/分) です。

よって,$x$ = 2(出発して 2 分後)のとき $y$ = 175 × 2 = 350 (m) ・・・

公園から学校に戻るまでの 14 分間に 1400 m 走ったので,
そのとき( 8 ≦ $x$ ≦ 22)の速さは,1400 ÷ 14 = 100 (m/分) です。

$x$ = 10 の時は,公園を出発して 2 分後のことなので,
その 2 分間に走った距離は 100 × 2 = 200 (m)

よって, = 1400 ー 200 = 1200 (m)

(イ)$x$ と $y$ との関係を表すグラフを書きなさい。( 0 ≦ $x$ ≦ 22)

解答・解説

解答

問題文より,A さんの走る速さは,公園に到着する前と後でそれぞれ一定なので,
0 ≦ $x$ ≦ 8 の範囲も,8 ≦ $x$ ≦ 22 の範囲もグラフは直線( 1 次関数のグラフ)です。

表から,0 ≦ $x$ ≦ 8 の範囲では,座標 ( 0,0 ) と ( 8,1400 )を結んだ線分,
8 ≦ $x$ ≦ 22 の範囲では,座標 ( 8,1400 ) と ( 22,0 ) を結んだ線分になります。

(ウ)$x$ の変域を 8 ≦ $x$ ≦ 22 とするとき,$x$ と $y$ との関係を式で表しなさい。。

解答・解説

解答$y=-100x+2200$

問題文より,A さんの走る速さは,公園に到着する前と後でそれぞれ一定なので,
0 ≦ $x$ ≦ 8 の範囲も,8 ≦ $x$ ≦ 22 の範囲も,$y$ は $x$ の 1 次関数です。

求める式を $\;y=ax+b$( $a$ と $b$ は定数 )とおくと,

上の表の 8 ≦ $x$ ≦ 22 の範囲について,

$a=\sf \dfrac{\;0-1400\;}{22-8}=-100$

よって,求める式は $\;y$ = -100$x$ + $b$ となり,

さらに,$y$ = -100$x$ + $b$ に $x$ = 22,$y$ = 0 を代入して,

0 = -100 × 22 + $b$
0 = -2200 + $b$
$b$ = 2200

したがって,8 ≦ $x$ ≦ 22 の範囲では,$y$ = -100$x$ + 2200

(2)B さんは A さんが学校を出発してから 2 分後に学校を出発し,A さんと同じ道を通って公園まで行き,学校に戻った。このとき,B さんは学校を出発してから 8 分後に,公園から戻ってきた A さんとすれ違った。B さんは A さんとすれ違った後,すれ違う前より 1 分あたり 10 m 速く走り,A さんに追いついた。ただし,B さんの走る速さは,A さんとすれ違う前と後でそれぞれ一定であった。

(ア)A さんとすれ違った後の B さんの走る速さは,分速何 m であるかを求めなさい。

解答・解説

解答分速 160 m

まず,A さんとすれ違うまでの B さんの速さを求めます。

B さんは A さんが学校を出発した 2 分後に学校を出発し,
その 8 分後に A さんとすれ違ったので,
B さんとすれ違うまでに A さんが走った時間は,2 + 8 = 10(分間)です。

A さんが学校を出発してから 10 分後の場所を求めます。(1) の (ウ) から,

$y$ = -100 × 10 + 2200
= 1200 (m)

よって,B さんが A さんとすれ違った場所は,学校から 1200 m 離れたところです。
つまり,B さんは A さんとすれ違うまでの 8 分間で 1200 m 走ったことになります。

その速さは,1200 ÷ 8 = 150 (m/分)

B さんは A さんとすれ違った後,それまでより毎分 10 m 速く走ったので,
A さんとすれ違った後の B さんの速さは 150 + 10 = 160 (m/分) です。

(イ)B さんが A さんに追いついたのは,A さんが学校を出発してから何分何秒後であるかを求めなさい。

解答・解説

解答16 分 40 秒後

※ A さん → A,B さん → B と表します。

(2)の(ア)から,B が A とすれ違ったのは 学校から 1200 m 離れた場所です。
学校から公園までの距離は 1400 m なので,
すれ違った場所から公園までの距離は,1400 - 1200 = 200 (m) です。
B はその 200 m を分速 160 m で走ったので,
B が A とすれ違ってから公園に着くまでの時間は,200 ÷ 160 = $\small\sf\dfrac{5}{\;4\;}$(分)

よって,B が公園に着いたのは,
B が学校を出発してから 8 + $ \small \sf\dfrac{5}{\;4\;}$ = $ \small \sf\dfrac{\;37\;}{4}$(分後)で,
A が学校を出発してから $ \small \sf\dfrac{\;37\;}{4}$ + 2 = $ \small \sf\dfrac{\;45\;}{4}$(分後)です。

さらに,B は公園から学校までの 1400 m を分速 160 m で走ったので,
その時間は,1400 ÷ 160 = $ \small \sf\dfrac{\;35\;}{4}$(分)です。

つまり B が学校に戻ったのは,
A が学校を出発してから $ \small \sf\dfrac{\;45\;}{4}$ + $ \small \sf\dfrac{\;35\;}{4}$ = 20(分後)です。

このことから, A が学校を出発してから $x$ 分後の,学校から B までの距離を $y$ m とし,
$x$ と $y$ との関係を表とグラフ(青線)に表すと下のようになります。

グラフの点 P の座標が ( 10,1200 ),点 Q の座標が ( $ \small \sf\dfrac{\;45\;}{4}$,1400 ),で,
B が A に追いつく時間と場所は 点 R の座標から求めることができます。

$ \small\sf\dfrac{\;45\;}{4}$ ≦ $x$ ≦ 20 の範囲の B のグラフの式を求めます。

求める式を $\;y=ax+b$( $a$ と $b$ は定数 )とおくと,
上の表の $\small\sf\dfrac{\;45\;}{4}$ ≦ $x$ ≦ 20 の範囲について,

$a= \small\sf\dfrac{\;0-1400\;}{20- \frac{\;45\;}{4}}=-1400\div \small \dfrac{\;35\;}{4}=-160$

よって,求める式は $\;y$ = -160$x$ + $b$ となり,
さらに,$y$ = -160$x$ + $b$ に $x$ = 20,$y$ = 0 を代入して,

0 = -160 × 20 + $b$
0 = -3200 + $b$
$b$ = 3200

したがって,$ \small\sf\dfrac{45}{4}$ ≦ $x$ ≦ 20 の範囲では,$y$ = -160$x$ + 3200

また (1) の (ウ) から,
$ \small\sf\dfrac{\;45\;}{4}$ ≦ $x$ ≦ 20 の範囲の A のグラフの式は $y$ = -100$x$ + 2200

グラフの点 R の座標は,下の連立方程式を解くことで求められます。

$\;\left\{\begin{array}{l}y=-100x+2200\\y=-160x+3200\end{array}\right.\;$

$-100x+2200=-160x+3200$
$x=\small\dfrac{\;50\;}{3}$

$\sf\small\dfrac{\;50\;}{3}\;$分 = 16$\sf\small\dfrac{\;2\;}{3}\;$分 = 16 分 40 秒$\sf\dfrac{\;2\;}{3}$ 分 = 60 × $\sf\dfrac{\;2\;}{3}$(秒)= 40 秒

B が A に追いついたのは,A が学校を出発してから 16 分 40 秒後です。


方程式による解

2 人がすれ違ってから,B が A に追いつくまでの間を考えます。

(2) の (ア) から,2 人がすれ違ったとき,
A は公園から学校に向かって走り,公園から 200 m の場所を通過し,
B は学校から公園に向かって走り,公園まで 200 m の場所を通過しています。
よって,その時の 2 人の間の距離は 200 × 2 = 400 (m) です。

2 人がすれ違ってから,B が A に追いつくまでに $t$ 分かかったとすると,
その $t$ 分間に B は A より 400 m 長い距離を走り,A に追いついたことになります。

$t$ 分間に B が走った距離 = $t$ 分間に A が走った距離 + 400 m

(1) の (ア) および (2) の (ア) から,
そのときの A の速さは毎分 100 m,B の速さは 毎分 160 m です。

160$t$ = 100$t$+ 400
$t$ = $\sf\small{\dfrac{\;20\;}{3}}$(分)

2 人がすれ違ったのは,A が学校を出発して 10 分後だから,
B が A に追いついたのは,A が学校を出発してから

10 + $\sf\small{\dfrac{\;20\;}{3}}$ = 16$\sf\small{\dfrac{\;2\;}{3}}\;$分 = 16 分 40 秒


下の図で,△BDC と △ACE はともに正三角形である。また,線分 AD と BE との交点を F,AD と BC との交点を G とする。

次の (1),(2) の問いに答えなさい。

(1)△ADC ≡ △EBC であることを証明しなさい。

解答

〈仮定〉△BDC と △ACE はともに正三角形
〈結論〉△ADC ≡ △EBC

〈証明〉

△ADC と △EBC で,

仮定から,DC = BC・・・・・・①

仮定から,CA = CE・・・・・・②

仮定から,∠BCD = ∠ECA = 60°・・・・・・③

また,∠ACD = ∠ACB + ∠BCD・・・・・・④
∠ECB = ∠ACB + ∠ECA・・・・・・⑤

③,④,⑤から,∠ACD = ∠ECB・・・・・・⑥

①,②,⑥から,2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので,
△ADC ≡ △EBC

(2)AB = 4 cm,AC = 4 cm,BC = 6 cm のとき,

(ア)DG の長さを求めなさい。

解答・解説

解答$\sf 3\sqrt{\,3\,}$ cm

仮定から,△BDG は 1 辺が 6 cm の正三角形であり,
△ABD ≡ △ACD(証明は下)だから,
∠BDG = ∠CDG = 60° × $\sf\dfrac{1}{\;2\;}$ = 30°
二等辺三角形の頂角(∠BDC)の二等分線(DG)は底辺(BC)を垂直に二等分するから,
∠DGB = 90°
よって,△BDG は BD:DG = 2:$\sf\sqrt{3}$ の直角三角形である。
6:DG = 2:$\sf\sqrt{3}$
DG = 3$\sf\sqrt{\,3\,}$

〔 次の(イ)で使う AD の長さを求めておきます 〕
さらに,BG = 6 × $\sf\dfrac{1}{\;2\;}$ = 3 (cm),∠AGB = 90° でもあるから,
△ABG について三平方の定理から,
AG = $\sf\sqrt{AB^{2}-BG^{2}}$ = $\sf\sqrt{4^{2}-3^{2}}$ $\sf\sqrt{\,7\,}$ (cm)

よって,AD = DG + AG = 3$\sf\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,7\,}$ (cm)


△ABD ≡ △ACD の証明

〈仮定〉△BDCは正三角形,AB = AC
〈結論〉△ABD ≡ △ACD

〈証明〉

△ABD と △ACD で,
仮定から,AB = AC・・・・・・①
仮定から,AB = AC・・・・・・②
共通な辺だから,AD = AD・・・・・・③
①,②,③から,3 組の辺がそれぞれ等しいので,
△ABD ≡ △ACD

(イ)EF の長さを求めなさい。

解答・解説

解答$\sf\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,7\,}$ cm

(1) から,△ADC ≡ △EBC だから,∠ADC = ∠EBC
(2) の (ア) から, ∠ADC = 30°
よって,∠EBC = ∠FBG = 30°
さらに,BG = 3 cm,∠AGB = 90° だから,
△FBG は右図のような直角三角形になります。
BF:BG = 2:$\sf\sqrt{\,3\,}$
BF:3 = 2:$\sf\sqrt{\,3\,}$
BF = 2$\sf\sqrt{\,3\,}$ ……①

(1) から,△ADC ≡ △EBC だから,AD = EB
(2) の (ア) から, AD = 3$\sf\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,7\,}$ (cm)
よって,
EB = 3$\sf\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,7\,}$ (cm) ・・・・・・②

①,②から,
EF = EB - BF
= ( 3$\sf\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,7\,}$ ) - 2$\sf\sqrt{\,3\,}$
= $\sf\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,7\,}$ (cm)


右の表 1 は,かけ算の九九を表にしたものである。太郎さんは,表 1 の太枠の中に書かれた 81 個の数字の合計を工夫して求めようとした。

次の (1),(2) の問いに答えなさい。

(1)太郎さんは,表 1 の太枠の中から一部を取り出し,4 段 4 列の表 2 を作った。さらに,表 2 をもとに次のように表 3,表 4,表 5 をそれぞれ作り,表 2 に書かれた 16 個の数字の合計を考えた。

九九の表

表 3 は,表 2 の数字を左右対称に並べ替えたもの。
表 4 は,表 2 の数字を上下対称に並べ替えたもの。
表 5 は,表 2 の数字を左右対称に並べ替え,さらに上下対称に並べ替えたもの。

次の文章は,太郎さんの考えをまとめたものである。ア,イ,オ,カ には数を,ウ には $b$ を使った式を,エ には $a$ を使った式を,それぞれあてはまるように書きなさい。

表 2,表 3,表 4,表 5 について,各表の上から 3 段目,左から 2 列目に書かれた数字は,順に,6, ,4,6 であり,合計は となる。同様に,他の位置に書かれた数字について,各表の上から $a$ 段目,左から $b$ 段目に書かれた数字を $a$,$b$ を使って表すと,順に,$ab$,$a$( ),( )$b$,( )( ) であり,合計すると となる。
したがって,表 2 に書かれた 16 個の数字の合計は $\;\sf\dfrac{\,\framebox[1.5cm][c]{オ}\times 16\,}{\framebox[1.5cm][c]{カ}}\;$で計算できる。

解答・解説

解答 9   25   5-$b$   5-$a$   25   4

表 3 は,表 2 の数字を左右対称に並び替えたものだから,
表 3 の 3 段目は,表 2 の 3 段目を左右対称に並び替えして,
12963
となります。 = 9

各表の上から 3 段目,左から 2 列目に書かれた数字の和は,
6 + 9 + 4 + 6 = 25 ・・・

他の位置に書かれた数字について,
各表の上から $a$ 段目,左から $b$ 列目に書かれた数字を考えます。

表 2 では,
段数とかけられる数,列数とかける数がそれぞれ同じです。
よって,上から $a$ 段目,左から $b$ 列目に書かれた数字は
$a$ × $b$ = $ab$

表 3 では,
段数とかけられる数は同じだから,$a$ 段のかけられる数は $a$ です。
列数とかける数は左右対称になっており,
列数 + かける数 = 5
かける数 = 5 - 列数
になっています。
よって,$b$ 列のかける数は 5 - $b$ です。
したがって,上から $a$ 段目,左から $b$ 列目に書かれた数字は
$a$ × ( 5 - $b$ ) = $a$( 5 - $b$ ) → = 5 - $b$

表 4 では,
段数とかけられる数が上下対称となっており,
段数 + かけられる数 = 5
かけられる数 = 5 - 段数
になっています。
よって,$a$ 段のかけられる数は 5 - $a$ です。
列数とかける数は同じだから,$b$ 列のかける数は $b$ です。
したがって,上から $a$ 段目,左から $b$ 列目に書かれた数字は
( 5 - $a$ ) ×$b$ = ( 5 - $a$ )$b$ → = 5 - $a$

表 5 では,
段数とかけられる数が上下対称となっており,
列数とかける数は左右対称になっています。
よって,
$a$ 段のかけられる数は 5 - $a$
$b$ 列のかける数は 5 - $b$
です。
したがって,上から $a$ 段目,左から $b$ 列目に書かれた数字は
( 5 - $a$ ) × ( 5 - $b$ ) = ( 5 - $a$ )( 5 - $b$ )

以上から,各表の上から $a$ 段目,左から $b$ 段目に書かれた数字の合計は,
$ab$ + $a$( 5 - $b$ ) + ( 5 - $a$ )$b$ + ( 5 - $a$ )( 5 - $b$ )
= $ab$ + ( 5$a$ - $ab$ ) + ( 5$b$ - $ab$ ) + ( 25 - 5$b$ - 5$a$ + $ab$ )
= 25 → = 25

4 つの表のすべての場所の数字についても,その合計は 25 になります。
よって,4 つの表すべての数の合計は,25 × 16 になり,
表 2 だけの数字の合計は,その $ \small \sf\dfrac{1}{\;4\;}$です。

表 2 に書かれた 16 個の数字の合計は,$\sf\dfrac{\;25\;\times\;16\;}{\color{red}4}$ = 100 → = 4

(2)表 1 の太枠の中に書かれた 81 個の数字の合計を求めなさい。

解答・解説

解答2025

表 1 についても (1) と同じように表をあと 3 つ作ったとします。

(1) と同様に考えると,4 つの表の上から $a$ 段目,左から $b$ 列目の数字はそれぞれ,
$ab$, $a$( 10 - $b$ ), ( 10 - $a$ )$b$, ( 10 - $a$ )( 10 - $b$ )
になります。

よって,それらの合計は,
$ab$ + $a$( 10 - $b$ ) + ( 10 - $a$ )$b$ + ( 10 - $a$ )( 10 - $b$ )
= $ab$ + ( 10$a$ - $ab$ ) + ( 10$b$ - $ab$ ) + ( 100 - 10$b$ - 10$a$ + $ab$ )
= 100

4 つの表のすべての場所の数字についても,その合計は 100 になります。
よって,4 つの表すべての数の合計は,100 × 81 になり,
表 1 に書かれた 81 個の数字の合計は,$ \small \sf\dfrac{\;100\;\times\;81\;}{4}$ = 2025