岐阜県・公立高校入試 2022年度（ 令和4年度 ）解答・解説編

解答$14$

解答$-5x+4y$

解答$100$

解答$36\sqrt{\,3\,}$ (cm$^{3}$)

下の図は正四角すいの見取り図と投影図です。図のように頂点 A，B，C をとり，辺 BC の中点を 点 M，底面の対角線の交点を点 O とします。

ここで注意しなくてはいけないのは，

見取り図の 線分 AM の長さは，立面図の 線分 AB の長さと等しいこと

見取り図の 線分 AO の長さ(正四角すいの高さ)は，立面図の線分 AM の長さと等しいこと

です。

正四角すいの体積を求めるために，まず高さ(AO) を，立面図から求めます。

立面図の △ABM は，$3$ つの角が $30°$，$60°$，$90°$ の直角三角形 (下の図)です。

AB：BM：AM $=$ $2$：$1$：$\sqrt{\,3\,}$ $\quad$だから，
BM：AM $=$ $1$：$\sqrt{\,3\,}$
$3$：AM $=$ $1$：$\sqrt{\,3\,}$
AM$\times 1$ $=$ $3\times\sqrt{\,3\,}$
AM $=$ $3\sqrt{\,3\,}$ (cm)

よって，見取り図の線分 AO の長さ，
つまり正四角すいの高さは，$3\sqrt{\,3\,}$ (cm) です。

また，平面図から，正四角すいの底面は $1$ 辺が $6$ cm の正方形であり，その面積は，

$6\times6=36$ (cm$^{2}$)

したがって，

正四角すいの体積 $=$ 底面積 × 高さ(OA) × $\dfrac{1}{\;3\;}$

$= 36\times3\sqrt{\,3\,}\times\dfrac{1}{\;3\;}$

$=36\sqrt{\,3\,}$ (cm$^{3}$)

解答$x=\dfrac{\,1\pm\sqrt{\,33\,}\,}{2}$

$a=-1$ のとき，式は，$x^{2}-x-8=0$ です。

差が $-1$ ，積が $-8$ である $2$ つの整数は存在しないので，解の公式で解きます。

$x^{2}-x-8=0$

$x=\dfrac{\,-(-1)\pm\sqrt{\,(-1)^{2}-4\times 1\times (-8)\,}\,}{2}$

$x=\dfrac{\,1\pm\sqrt{\,1+32\,}\,}{2}$

$x=\dfrac{\,1\pm\sqrt{\,33\,}\,}{2}$

解答$a=7$

$2$ 次方程式 $\;x^{2}+ax-8=0\;$ に $x=1$ を代入して，

$1^{2}+a\times 1-8=0$

$1+a-8=0$

$a=7$

解答$x=-8$

(ア)から $a=7$ です。このとき，式は，$x^{2}+7x-8=0$ です。

$x^{2}+7x-8=0$

$(x-1)(x+8)=0$

$x=1$ または $x=-8$

よって，他の解は $-8$

解答$1.9$ 回

下の度数分布表から，成功した回数の合計は $38$ 回です。

人数の合計は 20 人，成功した回数の合計は 38 回 なので，
成功した回数の平均値は，

$\dfrac{38}{\;20\;}=1.9$ (回)

解答$4$ 回

花子さんを加える前の $20$ 人の成功回数を，小さい順に全て並べます。

部員数の合計は $20$ 人 (偶数) なので，
中央値は，小さい方から $10$ 番目(図の⑩)と $11$ 番目(図の⑪)の平均です。

花子さんを加える前の中央値 $=\dfrac{\,2+2\,}{2}=2$

花子さんを加えた後の中央値について，花子さんの成功回数によって場合分けして考えます。
※ 図 2 ，3 の番号は，図 1 で部員につけた番号です。

〔1〕花子さんの成功回数が $0$ 回または $1$ 回のとき

図 2 のように，中央値は 部員⑩ の回数である $2$ になります。

〔2〕花子さんの回数が $2$ 回，$3$ 回，$4$ 回，$5$ 回のとき

図 3 のように，中央値は 部員⑪ の回数である $2$ になります。

〔1〕，〔2〕から，
花子さんの成功回数が何回だったとしても，花子さんを加えた後の成功回数の中央値は $2$ です。

次に，花子さんの成功回数を $x$ 回だとすると，
(2) の表から，花子さんを加える前の成功回数の合計は $38$ で，
花子さんを加えた後の部員数は $(20+1=)\;21$ 人なので，

花子さんを加えた後の平均値は $\dfrac{\;38+x\;}{21}$と表せます。

問題文から「花子さんを加えた後，平均値と中央値が等しくなった」ので，

$\dfrac{\;38+x\;}{21}=2$

$38+x=42$

$x=4$

解答ア $16$  イ $8$

$x=4$ のとき，下の図のようになります。

このとき，

$y=8\times 4\times \dfrac{1}{\;2\;} = 16$ア16

$x=6$ のとき，下の図のようになります。

このとき，

$y=4\times 4 \times \dfrac{1}{\;2\;} = 8$イ8

解答(ア) $y=x^{2}\quad$(イ) $y=-4x+32$

(ア)$0≦x≦4$ のとき

P は 辺 AB 上を，Q は 辺 AD 上を下の図のように移動しています。

△ APQ は，底辺が $2x$ (cm) ，高さが $x$ (cm) の直角三角形だから，

$y=2x \times x \times \dfrac{\;1\;}{2}$

$=x^{2}$

よって，求める式は式 $\;\;y=x^{2}$ $\;(\,0≦x≦4\,) $

(イ)$4≦x≦8$ のとき

P は 辺 AB 上を，Q は 辺 CD 上を下の図のように移動しています。
※ P は $4$ 秒後に頂点 B に着き，折り返して頂点 A に向かっています。

△ APQ は，底辺が $16-2x$ (cm) ，高さが $4$ (cm) の三角形だから，

$y=(16-2x)\times 4 \times \dfrac{\;1\;}{2}$

$=-4x+32$

よって，求める式は式 $\;\;y=-4x+32$ $\;(\,4≦x≦8\,) $

上の図の AP は，A → B → A の $16$ (cm) から，
それまでに P が移動した長さ AB$\;+\;$BP$=2x$ (cm) を引いた長さになります。

解答

解説

(2) から，

$0≦x≦4$ の範囲では，$y=x^{2}$ のグラフ（放物線）

$4≦x≦8$ の範囲では，$y=-4x+32$ のグラフ（直線）

になります。

解答(ア) $y=x^{2}\quad$(イ) $y=-4x+32$

台形ABCD の面積は，$(4+8)\times 4 \times \dfrac{1}{\;2\;}=24$ cm$^{2}\;$ です。

また，(3) から，△APQ の面積は，$4$ 秒後に最大（ $16$ cm$^{2}$ ）になります（下図）。

このとき，△APQ の面積は，台形ABCD から △APQ を除いた面積よりも大きくなります。
よって，△APQ の面積と，台形ABCD から △APQ を除いた面積の比が，$3:5$ になるのは，

$0≦x≦4$ のときと，$4≦x≦8$ のときにそれぞれ $1$ 回ずつあることが分かります。

以下，△APQ の面積を $S\small 1$，台形ABCD から △APQ を除いた面積を $S\small 2$ と表します。

〔1〕$0≦x≦4$ のとき

$S\small 1$：$S\small 2\normalsize=x^{2}$：$(24-x^{2})$

求めるのは，$S\small 1$：$S\small 2\normalsize=3$：$5$ になるときだから，

$x^{2}$：$(24-x^{2})=3$：$5$

$5x^{2}=3(24-x^{2})$

$x^{2}=9$

$x=\pm 3$

$0≦x≦4$ だから，$x=3$ よって $3$ 秒後

〔2〕$4≦x≦8$ のとき

$S\small 1$：$S\small 2\normalsize=(-4x+32)$：$\{24-(-4x+32)\}$

求めるのは，$S\small 1$：$S\small 2\normalsize=3$：$5$ になるときだから，

$(-4x+32)$：$\{24-(-4x+32)\}=3$：$5$

$5(-4x+32)=3(4x-8)$

$-20x+160=12x-24$

$x=\dfrac{\;23\;}{4}=5.75$

$4≦x≦8$ だから適している。よって $5.75$ 秒後

〔１〕，〔2〕から，$S\small 1$：$S\small 2\normalsize=3$：$5$ になるのは $3$ 秒後と$5.75$ 秒後です。

別 解

△APQ の面積と，台形ABCD から △APQ を除いた面積の比が，$3:5$ になるということは，

△APQ の面積と，台形ABCD の面積の比が，$3:(3+5)$ すなわち $3:8$ になるということです。

〔1〕$0≦x≦4$ のとき

△ APQ ： 台形ABCD$=x^{2}:24$ だから，

$x^{2}:24=3:8$

$8x^{2}=72$

$x^{2}=9$

$x=\pm 3$

$0≦x≦4$ だから，$x=3$ よって $3$ 秒後

〔2〕$4≦x≦8$ のとき

△ APQ ： 台形ABCD$=-4x+32x^{2}:24$ だから，

$(-4x+32):24=3:8$

$8(-4x+32)=72$

$x=\dfrac{\;23\;}{4}=5.75$

$4≦x≦8$ だから適している。よって $5.75$ 秒後

〔1〕，〔2〕から，$S\small 1$：$S\small 2\normalsize=3$：$5$ になるのは $3$ 秒後と$5.75$ 秒後です。

解答$\dfrac{\;10\;}{3}$ cm

CE の長さを直接求めることはできませんが，
仮定から CD $=$ CE だから，CD の長さを求めます。

「三角形の角の二等分線と比」の定理(下の右図)を使います。

上の左図から，

BA：BC $=$ AD：CD だから，
AD：CD $=$ $4$：$5$ です。

よって，

BA：BC $=$ AD：CD だから，

$\;4\;$：$\;5\;$ $=$ AD：CD

AD：CD $=$ $4$：$5$

CD = AC $\times \dfrac{5}{\;4+5\;}=6 \times \dfrac{\;5\;}{9}=\dfrac{\;10\;}{\;3\;}$

また，CD $=$ CE だから，

CE $=\dfrac{\;10\;}{3}$ (cm)

解答$\dfrac{\;16\;}{5}$ 倍

AB $:$ CB $=4:5$ だから，

△ABD と △CBE の相似比は $4:5$ ･･････ ①

①から，

△ABD と △CBE の面積比は $4^{2}:5^{2}=16:25$

△ABD $:$ △CBE $=16:25$

$25\times$△ABD $=$ $16\times$△CBE

△ABD $=\dfrac{16}{\;25\;}\times$△CBE …… ②

また，①から，

BD $:$ BE $=4:5$

DE $:$ BE $=(5-4):5=1:5$

よって，△CDE と △CBE の面積比は $1:5$

△CDE $:$ △CBE $=1:5$

$5\times$△CDE $=$ $1\times$△CBE

△CDE $=\dfrac{1}{\;5\;}\times$△CBE …… ③

②，③から，

△ABD $:$ △CDE $=$ $\dfrac{16}{\;25\;}\times$△CBE $:$$\dfrac{1}{\;5\;}\times$△CBE

△ABD $:$ △CDE $=16:5$

$5\times$△ABD $=$ $16\times$△CDE

△ABD $=$ $\dfrac{\;16\;}{5}\times$△CDE

したがって，△ABD の面積は，△CDE の $\dfrac{\;16\;}{5}$ 倍です。

解答(ア) $9$ 個，(イ) $21$

実際に $5$ 回目の作業まで書いてみます。

上の図から，$5$ 回目の作業で新たに書く数は $17$ から $25$ までの自然数です。

その個数は

$25-17+1=9$ (個)ア$9$ 個

また，上の図から，右下に書く自然数は $21$ です。イ$21$

実際に書いていく方法では，作業の回数が多くなると対応できません。しかし現実的には，とりあえず (1) だけでも解ければよい，という状況になる場合が多いのではないかと思います。そういった場合は迷わず書いてしまって良いと思います。
「なんらかの規則性に気づかなくては解けない」と思い込んだり考え込んだりせずに，とにかく書いてみる。実際に書いてみると規則性に気づくこともあります。

規則性（ $n$ 回目の作業 ）については，(2) でくわしく解説します。

解答ア$\;\;n^{2}$,$\quad$イ$\;\;(n-1)^{2}$,$\quad$ウ$\;\;2n-1$,$\quad$エ$\;\;n^{2}-n+1$

〔1〕最も大きい自然数（以降「最大の数」と表す）について

$n$ 回目の作業で出来る正方形の一辺には，$n$ 個の自然数が並んでいます。
よって，$n$ 回目の作業で出来る正方形に含まれる自然数は，

合計で，$n \times n=n^{2}$ (個)です。

つまり，$1$ から $n^{2}$ までの自然数が並んでいることになります。
したがって，最大の数は $n^{2}$ で，右上にあります。 ア$n^{2}$

〔2〕$n$ 回目の作業で新たに書く自然数の個数（以降「新たに書く個数」と表す）について

〔1〕から，

$(n-1)$ 回目の作業で書いた最大の数は，$(n-1)^{2}$  イ$(n-1)^{2}$
つまり，$1$ から $(n-1)^{2}$ までの自然数が含まれています。

$n$ 回目の作業で書いた最大の数は，$n^{2}$
つまり，$1$ から $n^{2}$ までの自然数が含まれています。

よって，$n$ 回目の作業で，新たに書く個数は，

$n$ 回目までに書いた個数 $-$ $(n-1)$ 回目までに書いた個数

$=n^{2}-(n-1)^{2}$

$=2n-1$ (個) です。  ウ$2n-1$

〔3〕$n$ 回目の作業で正方形の右下に書く自然数（以降「右下に書く数」と表す）について

各作業目で書く自然数は，左下から右へ書き進めるので，
$n$ 回目の作業で右下に書く数は，$n$ 回目の作業で $n$ 番目に書く数，
すなわち，$(n-1)$ 回目の最後の自然数に $n$ を加えた自然数です。

$(n-1)$ 回目の作業で最後に書く数は $(n-1)^{2}$ だから，
$n$ 回目の作業で $n$ 番目に書く数は，

$(n-1)^{2}+n=n^{2}-n+1$ です。エ$n^{2}-n+1$

参 考

解答$91$

(2) の エ から，$10$ 回目の作業で正方形の右下に書く自然数は，
$n^{2}-n+1$ に $n=10$ を代入して，

$10^{2}-10+1=91$

解答$1729$

まず$10$ 回目の作業で，新たに書く自然数について調べます。

はじめの数（左下）は，$9$ 回目の作業の最大の自然数より $1$ 大きい。
(2) の ア から，$9$ 回目の作業の最大の自然数は $9^{2}=81$ だから，

・はじめの数（右下）は，$81+1=82$

・最後の数（右上）は，(2) の ア から，$10^{2}=100$

・書いた数の個数は，$100-82\color{red}+1\color{black}=19$ (個)
（ または，(2) の ウ から，$2 \times 10-1=19$ ）

よって，$10$ 回目の作業で新たに書く自然数の和は，

$82$ から $100$ までの連続した $19$ 個の自然数の和 になります。

$\dfrac{\;82+100\;}{2}\times 19=1729\;$（※下の解説を参照）

〔連続する自然数の和について〕

$a$ から $b$ までの連続する $n$ 個の自然数について，

平均値 ＝ 合計(和) ÷ 個数 だから，

合計(和) ＝ 平均値 × 個数 で求められます。

また，連続するいくつかの自然数の平均値は，

最小の数$(a)$と最大の数$(b)$の平均値 $\dfrac{\;a+b\;}{2}$ になります。よって，