岐阜県・公立高校入試 2021年度（ 令和3年度 ）解答・解説編

解答$-4$

解答$9y$

解答$x=0,\; x=6$

解答エ

下はヒストグラムからつくった度数分布表です。

中央値は得点の少ない方から6番目の試合の得点です。
よって，中央値は $2$ 得点

最頻値は最も度数(試合数)が多い得点です。
よって，最頻値は $1$ 得点

平均値は
$(\,0\times 1+1 \times 4+2\times 3+3 \times 2+4 \times1\,)\div11$
$= 20\div 11$
$=1.818\cdots$

これらから，正しいものは エ です。

解答$72$

正五角形の内角の和は，
$180°\times (\,5-2\,)=540°$

よって，五角形 ABCDE の $1$ つの内角は，
$540°\div 5=108°$ ･･･ ①

△ CBD は CB $=$ CD の二等辺三角形で，①から ∠BCD $=108°$ だから，
∠BDC $=(\,180°-108°\,)\div 2=36°$

△ DCE についても同様にして，
∠ ECD $=36°$

上の図で，△ FCD について，三角形の外角の性質から，

$x°=$ ∠ FCD $+$ ∠FDC $=36°+36°=72°$

よって，$x$ の値は $72$ です。

解答$\dfrac{3}{\;2\;}$  ( $1.5$ )

図 1 の水の体積を求めます。
求める体積は，下の図で，△ ACD が底辺，辺 BD が高さである三角錐の体積です。

水の体積(cm$^{3}$) $=$ △ ACD の面積 × BD × $\dfrac{1}{\;3\;}$

$= \biggl(9\times9\times\dfrac{1}{\;2\;}\biggr)\times 9 \times\dfrac{1}{\;3\;}$

$=\dfrac{\;81\;}{2}\times 9 \times\dfrac{1}{\;3\;}$

$=\dfrac{\;243\;}{2}$

これが図 2 の水の体積と同じなので，

$9\times9\times x=\dfrac{\;243\;}{2}$

$x=\dfrac{\;3\;}{2}$

解答$y=\dfrac{\,4000\,}{x}$

$y$ は $x$ に反比例するので，比例定数を $a$ とすると，求める式は，

$y=\dfrac{a}{\;x\;}$

と表すことができます。

問題文から，$x=500$ のとき $y=8$ だから，

$y=\dfrac{a}{\;x\;}$ に $x=500$ のとき $y=8$ を代入して，

$8=\dfrac{a}{\;500\;}$
$a=4000$

よって，求める式は，

$y=\dfrac{\,4000\,}{x}$

解答$6$ 分 $40$ 秒

$y=\dfrac{\,4000\,}{x}$ に $x=600$ を代入して，

$y=\dfrac{\,4000\,}{600}=\dfrac{\,20\,}{3}$

$\dfrac{\,20\,}{3}\,$(分) $=$ $\;6\dfrac{\,2\,}{3}\,$(分) $=6$ 分 $40$ 秒$\dfrac{2}{\,3\,}$分$\;=60\times \dfrac{2}{\,3\,}=40$秒

解答$36$ 通り

$2$ 個のさいころの目の出方は $6\times6=36$ (通り) です。
そのすべての場合の $a$ と $b$ の組み合わせを下の図に表します。

この $36$ 通りについて，つくることのできる直線はすべて異なります。
よって，つくることのできる直線は全部で $36$ 通りあります。

解答$\dfrac{1}{\;6\;}$

傾きが $1$ の直線ができるのは，$a=1$ のときです。

上の図から，$a=1$ である場合は $6$ 通りあります。
よって，傾きが $1$ である直線ができる確率は，

$\dfrac{6}{\;36\;}=\dfrac{1}{\;6\;}$

解答$\dfrac{11}{\;36\;}$

直線 $y=x+2$，$y=-x+2$ は，下の図のようになります。

$y=x+2$ … ①，$y=-x+2$ … ② とします。

ここに $y=ax+b$ を引いて，三角形ができないときは以下の $2$ 通りの場合です。

〔1〕$y=ax+b$ が ①，② のどちらかと平行になるとき
〔2〕$3$ 直線 ①，②，$y=ax+b$ が $1$ 点で交わるとき

この $2$ 通りについて調べます。

〔1〕$y=ax+b$ が ①，② のどちらとも平行になるとき

$y=ax+b$ が ① と平行になるときは，
$y=ax+b$ と ① の傾きが同じとき，
つまり，$a=1$ のときです。
この場合は (1) から $6$ 通りです。

また，$a$ は $1$ から $6$ までの整数だから，
$y=ax+b$ が ② と平行になるときはありません。

〔2〕$3$ 直線 ①，②，$y=ax+b$ が $1$ 点で交わるとき

①，②，$y=ax+b$ が $1$ 点で交わるときは，
上のグラフから， $y=ax+b$ が $(\,0,\;2\,)$ を通るとき，
つまり，$b=2$ のときであることが分かります。
この場合は下の図から $6$ 通りあることが分かります。

これらのことから，〔1〕と〔2〕の場合はそれぞれ $6$ 通りずつあり，
また，$a=1$，$b=2$ の場合は 〔1〕と〔2〕のどちらにも含まれるので，
$3$ 直線で三角形ができない場合の数は，

$6+6-1=11$ (通り)

よって，$3$ 直線で三角形ができない確率は，

$\dfrac{11}{\;36\;}$

解答ア $30$  イ $20$

$x=6$ のとき，下の図のようになります。

このとき，

$y=6\times 5 = 30$ア30

$x=8$ のとき，下の図のようになります。

このとき，

$y=4\times 5 = 20$イ20

解答(ア) $y=5x\quad$(イ) $y=-5x+60$

$0≦x≦12$ において，$y$ は一定の割合で増減するから，
$0≦x≦12$ において，$y$ は $x$ の1 次関数です。

(ア)$0≦x≦6$ のとき

(1) から，$x$ と $y$ の変化の様子は次の表のようになります。

$\begin{array}{c|ccc}\;\;x &\; 0 & \cdots & 6\;\, \\ \hline \;\;y & \;0 & \cdots & 30\; \ \end{array}$

$x$ と $y$ の関係を表す式を $y=ax+b$ と表すと，

$a=\dfrac{\;30-0\;}{\;6-0}=\dfrac{\;30\;}{6}=5$

よって，求める式は $y=5x+b$ となり，
さらに，この式に $x=0$，$y=0$ を代入して，

$0=5\times 0 +b$
$b=0$

したがって，求める式は式 $y=5x$ $\;(\,0≦x≦6\,) $

※ 実際には $y$ が $x$ に比例していることは明らかなので，
求める式を $y=ax$ とし，$x=6$，$y=30$ を代入して $a$ を求めればよいでしょう。

(イ)$6≦x≦12$ のとき

(1) から，$x$ と $y$ の変化の様子は次の表のようになります。

$\begin{array}{c|ccc}\;\;x &\; 6 & \cdots & 12\;\, \\ \hline \;\;y & \;30 & \cdots & 0\; \ \end{array}$

$x$ と $y$ の関係を表す式を $y=ax+b$ と表すと，

$a=\dfrac{\;\;0-30\;}{12-6}=\dfrac{\;-30\;}{6}=-5$

よって，求める式は $y=-5x+b$ となり，
さらに，この式に $x=12$，$y=0$ を代入して，

$0=-5\times 12 +b$
$b=60$

したがって，求める式は式 $y=-5x+60$ $\;(\,6≦x≦12\,) $

解答

解説

$0≦x≦12$ において，$y$ は $x$ の1 次関数だから，
$0≦x≦12$ の範囲のグラフは直線になります。

(1) から，$x$ と $y$ の関係は下の表のようになります。

$\begin{array}{c|ccccc}\;\;x &\; 0 & \cdots & 6 & \cdots & 12 \;\, \\ \hline \;\;y & \;0 & \cdots & 30 & \cdots & 0 \; \ \end{array}$

よって，座標 $(\,0,\;0\,)$，$(\,6,\;30\,)$， $(\,12,\;0\,)$ を順に直線で結びます。

解答$\dfrac{\;36\;}{5}$ cm $\quad$($\;7.2\,$cm )

セロハンが重なって色が濃くなった部分の面積が，
重なっていないセロハンの部分の面積の $2$ 倍になるときは，
図 4 ：点 A' が辺 AD 上にあるときに $1$ 回，
図 5 ：点 A' が辺 AD の延長線上にあるときに $1$ 回，
あります。

AP の長さ ( $=x$ ) が最も長いのは，図 5 のようになるときです。
このときの $x$ について方程式をつくります。

重なった部分の面積 ($y$) $=$ 重なっていない部分の面積の $2$ 倍

$5(\,12-x\,)=5(\,2x-12\,)\times 2$
$12-x=4x-24$
$x=\dfrac{\;36\;}{5}$

解答$3\sqrt{\,2\,}$ cm

仮定から∠AHB $=90°$，∠ABD $=45°$ だから，
∠BAH $=180°-(\,90°+45°\,)=45°$
よって，△ ABC は ∠AHB $=90°$ の直角二等辺三角形です (下の図) 。

よって，

AH：BH ：AB $=$ $1$：$1$：$\sqrt{\,2\,}$
AH：AB $=$ $1$：$\sqrt{\,2\,}$
AH：6 $=$ $1$：$\sqrt{\,2\,}$
AH$\times \sqrt{\,2\,}$ $=$ $6\times 1$
AH $=$ $6\div \sqrt{\,2\,}$$\small 6\div\sqrt{2}=\dfrac{6}{\sqrt{2}}=\dfrac{6\;\,\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\dfrac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$
$=3\sqrt{\,2\,}$ (cm)

解答$9-3\sqrt{\,3\,}$ (cm)

△ ABE を 底辺が BE，高さが AH である三角形と考えます。
そこで，BE を BH と EH の差として求めます。

仮定から，△ABC は正三角形だから，∠ACB $=60°$ ･･･ ①

$\small\stackrel{\huge\frown}{\sf AB}$ に対する円周角だから，∠ACB ＝ ∠ADE ･･･ ②

①，② から，∠ADE $=60°$ ･･･ ③

また，(1) から，AE $=$ AD
よって，△AED は AE $=$ AD の二等辺三角形
したがって，∠ADE $=$ ∠AED ･･･ ④

③，④ から，∠AEH $=60°$
さらに，仮定から ∠AHE $=90°$ だから，
△AEH は $3$ つの角が $90°$，$60°$，$30°$ の直角三角形です (下の図) 。

(ア) から，AH $=3\sqrt{\,2\,}$ (cm) だから，

EH：AH ：AE $=$ $1$：$\sqrt{\,3\,}$：$2$
EH：AH $=$ $1$：$\sqrt{\,3\,}$
EH：$3\sqrt{\,2\,}$ $=$ $1$：$\sqrt{\,3\,}$
EH$\times \sqrt{\,3\,}$ $=$ $3\sqrt{\,2\,}\times 1$
EH $=$ $3\sqrt{\,2\,}\div \sqrt{\,3\,}$$\small 3\sqrt{\,2\,}\div\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\;\times\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}$
$=\sqrt{\,6\,}$ (cm)

また，(ア) から △ABH は AH $=$ BH の直角二等辺三角形だから，
BH $= 3\sqrt{\,2\,}$ (cm)

よって，
BE $=3\sqrt{\,2\,}-\sqrt{\,6\,}$ (cm)

△ABE の面積は，

BE $\times$ AH $\times \dfrac{1}{\;2\;}$
$=(\,3\sqrt{\,2\,}-\sqrt{\,6\,}\,)\times 3\sqrt{\,2\,}\times \dfrac{1}{\;2\;}$
$=(\,18-6\sqrt{\,3\,}\,)\times \dfrac{1}{\;2\;}$
$=9-3\sqrt{\,3\,}$ (cm)

解答$3$

表の数が $10$ であるカードの裏の数は，$\sqrt{\,10\,}$ の整数部分です。

$\sqrt{\,9\,}≦\sqrt{\,10\,}≦\sqrt{\,16\,}$
$3≦\sqrt{\,10\,}≦4$

よって，$\sqrt{\,10\,}$ の整数部分は $3$ です。

解答ア$\;\;12$,$\quad$イ$\;\;7$,$\quad$ウ$\;\;n^{2}$,$\quad$エ$\;\;n^{2}+2n$,$\quad$オ$\;\;2n+1$

表の数が $150$ であるカードの裏の数は，$\sqrt{\,150\,}$ の整数部分です。

$\sqrt{\,144\,}≦\sqrt{\,150\,}≦\sqrt{\,169\,}$
$12≦\sqrt{\,150\,}≦13$

よって，$\sqrt{\,150\,}$ の整数部分は $12$ だから，
表の数が $150$ であるカードの裏の数は $12$ です。 ア12

$150$ は表の最大の数だから，裏の最大の数は $12$ ，
つまり，裏の数 $n$ は $12$ 以下の自然数になります。

(Ⅰ) $n$ が $12$ のとき

表の最小の数は，正の平方根が $12$ になる最小の数，
つまり，$12^{2}=144$ です。

よって，裏の数が $12$ であるカードは，
表の数が $144$ から $150$ までのカードで，
その枚数は，$150-144\color{red}+1\color{black}=7$ (枚) イ7

(Ⅰ) $n$ が $12$ 未満の自然数のとき

表の最小の数は，正の平方根が $n$ になる最小の数，
つまり，$n^{2}$ です。 ウ$n^{2}$

表の最大の数は，正の平方根が $n+1$ になる最小の数より $1$ 小さい数，
つまり，$(\,n+1\,)^{2}-1=n^{2}+2n$ です。 エ$n^{2}+2n$

よって，裏の数が $n$ であるカードは，
表の数が $n^{2}$ から $(\,n^{2}+2n\,)$ までのカードで，
その枚数は，$(\,n^{2}+2n\,)-n^{2}\color{red}+1\color{black}=2n+1$ (枚) オ$2n+1$

解答$19$ 枚

(2) から，$n<12$ のとき，
裏の数が $n$ であるカードの枚数は $(\,2n+1\,)$ 枚 だから，
$n=9$ であるカードの枚数は，

$2\times 9+1=19$ (枚)

解答$65$

まず，実際に $P$ を裏の数の累乗の積の形の式で表してみます。
( 各カードの枚数は下の参考で求めています )

$\small P=1 ^{3} \times2 ^{5} \times 3 ^{7} \times 4 ^{9} \times 5 ^{11} \times 6 ^{13} \times 7 ^{15} \times 8 ^{17} \times 9^{19} \times 10^{21} \times 11^{23} \times 12^{7}$

この $P$ を $3^{m}$ で割り切るので，$P$ の素因数 $3$ の指数を求めます。
上の式の因数で，素因数分解したときに $3$ の累乗をふくむものは，

$3 ^{7}$，$6 ^{13}$，$9^{19}$，$12^{7}$

です。これらをそれぞれ素因数分解すると，

$\color{red}3 ^{7}$
$6 ^{13}=(\,2\times3\,)^{13}=2^{13}\times \color{red}3^{13}$
$9^{19}=(\,3^{2}\,)^{19}=\color{red}3^{38}$
$12^{7}=(\,2^{2}\times3\,)^{7}=2^{14}\times \color{red}3^{7} $

さらにこれらをかけ合わせると，

$3 ^{7}\times (\,2^{13}\times3^{13}\,)\times 3^{38}\times (\,2^{14}\times 3^{7}\,)=2 ^{27}\times \color{red}3^{65}$

よって，$P$ の素因数 $3$ の指数は $65$ です。
つまり，$P$ を $3^{m}$ で割った数が整数になるのは，
$m$ が $65$ 以下の自然数になるときであることが分かりました。
したがって，$m$ に当てはまる最大の自然数は，$65$ です。

参 考

カードの裏の数別の枚数は以下の表になります。
裏が $n$ であるカードは $2n+1$ (枚) なので，
裏の数が $3$ から $11$ までのカードの枚数は， $3$ から始まる奇数です。

上の解説では，はじめに $P$ を全ての裏の数の累乗の積の形にしていますが，
$P$ の因数で $3$ を含むものは，裏の数が $3$ の倍数であることは明らかなので，
はじめから，裏の数が $3$，$6$，$9$，$12$ の場合だけを考えればよいでしょう。