岐阜県・公立高校入試 2018年度（ 平成30年度 ）解答・解説編

解答$-3$

解答$16a$

解答$5-2\sqrt{\,6\,}$

解答$y=\dfrac{\;12\;}{x}$

$y$ は $x$ に反比例するから，比例定数を $a$ とすると，

求める式は $y=\dfrac{a}{\;x\;}$ と表される。

この式に $x=4$，$y=3$ を代入して，

$3=\dfrac{a}{\;4\;}$

$a=12$

よって，$y=\dfrac{\;12\;}{x}$

解答$18°$

下の図のように線分 BC をかきます。

$\sf\stackrel{\huge\frown}{CD}$ に対する円周角だから（図 1），

∠CBD $=$ ∠DAC $=72°$

また，線分 AC は円 O の直径で，半円の弧に対する円周角だから（図 2），

∠ABC $=90°$

よって，$x＝$ ∠ABC － ∠CBD
$=90-72$
$=18$ (°)

解答$\dfrac{7}{36}$

$2$ 個のさいころの目の出方は $6 \times 6=36$（通り）です。
そのすべての場合について，$2$ 個のさいころの出る目の数の和を下の表に示します。

表から， 出る目の数の和が $5$ になる場合は $4$ 通り，
出る目の数の和が $10$ になる場合は $3$ 通りあります。

よって，求める確率は，$\dfrac{\;4+3\;}{36}=\dfrac{7}{\;36\;}$

解答$30$ 人

ヒストグラムを度数分布表にします。

求める人数は，表の度数の合計です。

$2+7+3+4+5+4+3+2=30$（人）

解答$3$ 冊

ヒストグラムを度数分布表にします。

(1) から，人数の合計は $30$ 人なので，
中央値は冊数の少ない方から $15$ 人目と $16$人目の平均になります。
表の累積度数から，$2$ 冊までが $12$ 人，$3$ 冊までが $16$ 人なので，
少ない方から $15$ 人目と $16$ 人目はともに $3$ 冊の階級になります。

よって，中央値は，$\dfrac{\;3+3\;}{2}=3$（冊）です。

解答$120$ 人

ヒストグラムを度数分布表にします。

表から，$1$ 年 $1$ 組の生徒で $3$ 冊以上読んだ生徒の合計は $18$ 人なので，
その相対度数は，$\dfrac{18}{\;30\;}=0.6\;$です。

これが，この中学校全体の $3$ 冊以上読んだ生徒の相対度数と等しいので，
この中学校の生徒で読んだ本が $3$ 冊上の生徒数は，

$200\times 0.6=120$（人）

解答$30800$ 円

$1$ 個 $120$ 円で売ると $1$ 日あたり $240$ 個売れます。

$1$ 個 $110$ 円で売るとき，値下げした金額は，$120-110=10$（円）です。
$1$ 円値下げするごとに $4$ 個多く売れるから，
$10$ 円値下げすると，$4\times 10=40$（個）多く売れます。
つまり，$1$ 個 $110$ 円では $(\;240+40\;)$ 個売れることになります。

よって，$1$ 日で売れる金額の合計は， $110\times(\;240+40\;)=30800$（円）

解答$4x+240$（個）

$1$ 円値下げするごとに $4$ 個多く売れるから，
$x$ 円値下げすると，$4\times x=40x$（個）多く売れます。
よって，$40x+240$（個）売れます。

解答$90$（円）

$x$ 円値下げするとします。
その場合，(2)から売れる個数は，$4x+240$（個）なので，
$1$ 日で売れる金額の合計は，

$(\;120-x\;)(\;4x+240\;)$ 円 ･･･ ①

$1$ 個 $120$ 円で売るときの $1$ 日で売れる金額の合計は，

$120\times 240$（円）… ②

値下げしたときの合計金額 － $1$ 個 $120$ 円で売ったときの合計金額 ＝ $3600$

となればよいので，①，②から，

$(\;120-x\;)(\;4x+240\;)-120\times 240=3600$
$x^{2}-60x+900=0$
$(\;x-30\;)^{2}=0$
$x=30$

よって，$30$ 円値下げすればよいことが分かります。
したがって，$120-30=90$（円）で売るとよい。

《 方程式の計算例 》

$(120-x)(4x+240)-120\times 240=3600$
$-(x-120)\times 4(x+60)-120\times 240=3600$
$\color{red}{\cancelto{1}{\color{black}{-4}}}\color{black}{(x-120)(x+60)}\color{red}{\cancelto{+30}{\color{black}{-120}}}\color{black}{\times 240=}\color{red}{\cancelto{-900}{\color{black}{3600}}}\quad$両辺を $-4$ で割る
$(x-120)(x+60)+7200=-900$
$x^{2}-60x-7200+7200+900=0$
$x^{2}-60x+900=0$

解答ア $350$，イ $1200$

問題文より，A さんの走る速さは，公園に到着する前と後でそれぞれ一定です。

〔1〕学校を出発してから公園に到着するまで $(\;0≦x≦8\;)$

公園に到着するまでの $8$ 分間で $1400$ m 走ったので，
その時 $(\;0≦x≦8\;)$ の速さは，

$1400\div 8=175$ (m/分)$1$ 分ごとに $175$ m ずつ学校から離れる

よって，$x=2$（出発して $2$ 分後）のとき

$y=175\times 2=350$ (m)ア$350$

〔2〕公園を出発してから学校に到着するまで $(\;8≦x≦22\;)$

公園から学校に戻るまでの $14$ 分間に $1400$ m 走ったので，
そのとき $(\;8≦x≦22\;)$ の速さは，

$1400\div 14=100$ (m/分)$1$ 分ごとに $100$ m ずつ学校に近づく

$x=10$ である時は，公園を出発して $2$ 分後のことなので，
その $2$ 分間に走った距離は $100\times 2=200$ (m)
よって，

イ $=1400-200=1200$ (m)イ$1200$

解答

問題文より，A さんの走る速さは，公園に到着する前と後でそれぞれ一定なので，
$0≦x≦8$ の範囲も，$8≦x≦22$ の範囲もグラフは直線（ 1 次関数のグラフ）です。

表から，
$0≦x≦8$ の範囲では，座標 $(\;0，0\;)$ と $(\;8，1400\;)$ を結んだ線分
$8≦x≦22$ の範囲では，座標 $(\;8，1400\;)$ と $(\;22，0\;)$ を結んだ線分
になります。

解答$y=-100x+2200$

問題文より，A さんの走る速さは，公園に到着する前と後でそれぞれ一定なので，
$0≦x≦8$ の範囲も，$8≦x≦22$ の範囲も，$y$ は $x$ の 1 次関数です。

求める式を $\;y=ax+b$（ $a$ と $b$ は定数 ）とおくと，

上の表の $8≦x≦22$ の範囲について，

$a=\dfrac{\;0-1400\;}{22-8}=-100$

よって，求める式は $\;y=-100x+b$ となり，

さらに，$y=-100x+b$ に $x=22$，$y=0$ を代入して，

$0=-100\times 22+b$
$0=-2200+b$
$b=2200$

したがって，$8≦x≦22$ の範囲では，

$y=-100x+2200$

解答分速 160 m

まず，A さんとすれ違うまでの B さんの速さを求めます。

B さんは A さんが学校を出発した $2$ 分後に学校を出発し，
その $8$ 分後に A さんとすれ違ったので，
B さんとすれ違うまでに A さんが走った時間は，

$2+8=10$（分間）

A さんが学校を出発してから $10$ 分後の場所を求めます。
(1) の (ウ) から，

$y=-100\times 10+2200$
$=1200$ (m)

よって，B さんが A さんとすれ違った場所は，学校から $1200$ m 離れたところです。
つまり，B さんは A さんとすれ違うまでの $8$ 分間で $1200$ m 走ったことになります。
その速さは，

$1200\div 8=150$ (m/分)

B さんは A さんとすれ違った後，それまでより毎分 $10$ m 速く走ったので，
A さんとすれ違った後の B さんの速さは，

$150+10=160$ (m/分)

解答$16$ 分 $40$ 秒後

※ A さん → A，B さん → B と表します。

(2)の(ア)から，
B が A とすれ違ったのは 学校から $1200$ m 離れた場所です。
学校から公園までの距離は $1400$ m なので，
$2$ 人がすれ違った場所から公園までの距離は，
$1400-1200=200$ (m) です。

B はその $200$ m を分速 $160$ m で走ったので，
B が A とすれ違ってから公園に着くまでの時間は，

$200\div 160=\small\dfrac{5}{\;4\;}$（分間）

よって，B が公園に着いたのは，

B が学校を出発してから $8+\small \dfrac{5}{\;4\;}=\small \dfrac{\;37\;}{4}$（分後）で，
A が学校を出発してから $\small \dfrac{\;37\;}{4}$$\;+\;2=\small \dfrac{\;45\;}{4}$（分後）です。

さらに，B は公園から学校までの $1400$ m を分速 $160$ m で走ったので，
その時の時間は，

$1400\div 160=\small \dfrac{\;35\;}{4}$（分間）

つまり B が学校に戻ったのは，A が学校を出発してから

$\small \dfrac{\;45\;}{4}+\small \dfrac{\;35\;}{4}=$$\;20$（分後）

このことから， A が学校を出発してから $x$ 分後の，学校から B までの距離を $y$ m とし，
$x$ と $y$ との関係を表とグラフ（青線）に表すと下のようになります。

グラフの点 Ｐ の座標が $(\;10，1200\;)$，点 Ｑ の座標が $\left(\;\small \dfrac{\;45\;}{4}\normalsize，1400\;\right)$，で，
B が A に追いつく時間と場所は 点 Ｒ の座標から求めることができます。

$\small\dfrac{\;45\;}{4}$$≦x≦20$ の範囲の B のグラフの式を求めます。

求める式を $\;y=ax+b$（ $a$ と $b$ は定数 ）とおくと，

上の表の $\small \dfrac{\;45\;}{4}$$≦x≦20$ の範囲について，

$a= \small\dfrac{\;0-1400\;}{20- \frac{\;45\;}{4}}\normalsize=-1400\div \dfrac{\;35\;}{4}\normalsize=-160$

よって，求める式は $\;y=-160x+b$ となり，
さらに，この式に $x=20$，$y=0$ を代入して，

$0=-160\times 20+b$
$0=-3200+b$
$b=3200$

したがって，$ \small \dfrac{\;45\;}{4}$$≦x≦20$ の範囲では，

$y=-160x+3200$

また (1) の (ウ) から，$ \small\dfrac{\;45\;}{4}$$≦x≦20$ の範囲の A のグラフの式は，

$y=-100x+2200$

グラフの点 Ｒ の座標は，下の連立方程式を解くことで求められます。

$\;\left\{\begin{array}{l}y=-160x+3200\\y=-100x+2200\end{array}\right.\;$

$-160x+3200=-100x+2200$

$x=\dfrac{\;50\;}{3}$

$\dfrac{\;50\;}{3}\;$ 分 $=16\dfrac{\;2\;}{3}\;$ 分$=16$ 分 $40$ 秒$\dfrac{\;2\;}{3}$ 分 $=60\times\dfrac{\;2\;}{3}$（秒）$=40$ 秒

B が A に追いついたのは，A が学校を出発してから $16$ 分 $40$ 秒後です。

方程式による解

$2$ 人がすれ違ってから，B が A に追いつくまでの間を考えます。

(2) の (ア) から，$2$ 人がすれ違ったとき，
A は公園から学校に向かって走り，公園から $200$ m の場所を通過し，
B は学校から公園に向かって走り，公園まで $200$ m の場所を通過しています。
よって，その時の $2$ 人の間の距離は $200\times 2=400$ (m) です。

$2$ 人がすれ違ってから，B が A に追いつくまでに $t$ 分かかったとすると，
その $t$ 分間に B は A より $400$ m 長い距離を走り，A に追いついたことになります。

$t$ 分間に B が走った距離 ＝ $t$ 分間に A が走った距離 ＋ $400$ m

(1) の (ア) および (2) の (ア) から，
そのときの A の速さは毎分 $100$ m，B の速さは 毎分 $160$ m です。

$160t=100t+400$
$t=\small{\dfrac{\;20\;}{3}}$（分）

$2$ 人がすれ違ったのは，A が学校を出発して $10$ 分後だから，
B が A に追いついたのは，A が学校を出発してから

$10+\dfrac{\;20\;}{3}=16\dfrac{\;2\;}{3}$ (分) ＝ $16$ 分 $40$ 秒

解答$3\sqrt{\,3\,}$ cm

仮定から，△BDG は $1$ 辺が $6$ cm の正三角形であり，
△ABD ≡ △ACD（証明は下）だから，

∠BDG $=$ ∠CDG $=60° \times \dfrac{1}{\;2\;}=30°$

二等辺三角形の頂角(∠BDC)の二等分線(DG)は底辺(BC)を垂直に二等分するから，
∠DGB $=90°$
よって，△BDG は
BD：DG $=2$：$\sqrt{\,3\,}$
となる直角三角形である。
BD$=6$ cm だから，

$6$：DG $=2$：$\sqrt{\,3\,}$
DG $=3\sqrt{\,3\,}$

〔 次の(イ)で使う AD の長さを求めておきます 〕

さらに，

BG $=6 \times \dfrac{1}{\;2\;}=3$ (cm)，∠AGB $=90°$

であり，△ABG について三平方の定理から，

AG $=\sqrt{\sf\small AB^{2}-BG^{2}}=\sqrt{\,4^{2}-3^{2}\,}=\sqrt{\,7\,}$ (cm)

よって，AD $=$ DG $+$ AG $=3\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,7\,}$ (cm)

△ABD ≡ △ACD の証明

〈仮定〉△BDCは正三角形，AB ＝ AC
〈結論〉△ABD ≡ △ACD

〈証明〉

△ABD と △ACD で，
仮定から，AB ＝ AC･･････①
仮定から，AB ＝ AC･･････②
共通な辺だから，AD ＝ AD･･････③
①，②，③から，3 組の辺がそれぞれ等しいので，
△ABD ≡ △ACD

解答$\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,7\,}$ cm

(1) から，△ADC ≡ △EBC だから，
∠ADC $=$ ∠EBC
(2) の (ア) から，
∠ADC $=30°$
よって，
∠EBC $=$ ∠FBG $=30°$
さらに，BG $=3$ cm，∠AGB $=90°$ だから，
△FBG は右図のような直角三角形になります。

BF：BG $=2$：$\sqrt{\,3\,}$
BF：$3=2$：$\sqrt{\,3\,}$
BF $=2\sqrt{\,3\,}$ ……①

(1) から，△ADC ≡ △EBC だから，
AD $=$ EB
(2) の (ア) から，
AD $=3\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,7\,}$ (cm)
よって，
EB $= 3\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,7\,}$ (cm) ･･････②

①，②から，
EF $=$ EB $-$ BF
$=( 3\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,7\,})-2\sqrt{\,3\,}$
$=\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,7\,}$ (cm)

解答ア $9$  イ $25$  ウ $5-b$  エ $5-a$  オ $25$  カ $4$

表 3 は，表 2 の数字を左右対称に並び替えたものだから，
表 3 の $3$ 段目は，表 2 の $3$ 段目を左右対称に並び替えして，
$12$$9$$6$$3$
となります。ア$9$

各表の上から $3$ 段目，左から $2$ 列目に書かれた数字の和は，
$6+9+4+6=25$イ$25$

他の位置に書かれた数字について，
各表の上から $a$ 段目，左から $b$ 列目に書かれた数字を考えます。

表 2 では，
段数とかけられる数，列数とかける数がそれぞれ同じです。
よって，上から $a$ 段目，左から $b$ 列目に書かれた数字は
$a$ × $b$ ＝ $ab$

表 3 では，
段数とかけられる数は同じだから，$a$ 段のかけられる数は $a$ です。
列数とかける数は左右対称になっており，
列数 ＋ かける数 $=5$
かける数 $=5-$ 列数
になっています。
よって，$b$ 列のかける数は $5-b$ です。
したがって，上から $a$ 段目，左から $b$ 列目に書かれた数字は
$a\times(\,5-b\,)=a(\,5-b\,)$ウ$5-b$

表 4 では，
段数とかけられる数が上下対称となっており，
段数 ＋ かけられる数 $=5$
かけられる数 $=5-$ 段数
になっています。
よって，$a$ 段のかけられる数は $5-a$ です。
列数とかける数は同じだから，$b$ 列のかける数は $b$ です。
したがって，上から $a$ 段目，左から $b$ 列目に書かれた数字は
$(\,5-a\,)\times b=(\,5-a\,)b$エ$5-a$

表 5 では，
段数とかけられる数が上下対称となっており，
列数とかける数は左右対称になっています。
よって，
$a$ 段のかけられる数は $5-a$
$b$ 列のかける数は $5-b$
です。
したがって，上から $a$ 段目，左から $b$ 列目に書かれた数字は
$(\,5-a\,)\times (\,5-b\,)=(\,5-a\,)(\,5-b\,)$

以上から，各表の上から $a$ 段目，左から $b$ 段目に書かれた数字の合計は，
$ab+a(\,5-b\,)+(\,5-a\,)b+(\,5-a\,)(\,5-b\,)$
$=ab+(\,5a-ab\,)+(\,5b-ab\,)+(\,25-5b-5a+ab\,)$
$=25$オ$25$

$4$ つの表のすべての場所の数字についても，その合計は $25$ になります。
よって，$4$ つの表すべての数の合計は，$25\times 16$ になり，
表 2 だけの数字の合計は，その $ \small \dfrac{1}{\;4\;}$です。

表 2 に書かれた $16$ 個の数字の合計は，$\dfrac{\;25\;\times\;16\;}{\color{red}4}=100$カ$4$

解答$2025$

表 1 についても (1) と同じように表をあと $3$ つ作ったとします。

(1) と同様に考えると，$4$ つの表の上から $a$ 段目，左から $b$ 列目の数字はそれぞれ，
$ab$， $a(\,10-b\,)$， $(\,10-a\,)b$， $(\,10-a\,)(\,10-b\,)$
になります。

よって，それらの合計は，
$ab+a(\,10-b\,)+(\,10-a\,)b+(\,10-a\,)(\,10-b\,)$
$=ab+(\,10a-ab\,)+(\,10b-ab\,)+(\,100-10b-10a+ab\,)$
$=100$

$4$ つの表のすべての場所の数字についても，その合計は $100$ になります。
よって，$4$ つの表すべての数の合計は，$100\times 81$ になり，
表 1 に書かれた $81$ 個の数字の合計は，$ \small \dfrac{\;100\;\times\;81\;}{4}$ $=2025$