岐阜県・公立高校入試 2017年度（ 平成29年度 ）解答・解説編

解答$-22$

$\;-12\;\color{red}{+\;2\times(-5)}$まず乗法から計算します
$=-12-10$
$=-22$

解答$48b^{2}$

$\;18ab\div\dfrac{\;3\;}{8}a\times b$
$=18ab\div\dfrac{\;3a\;}{8}\times b$ 割る数の $\frac{\;3a\;}{8}$ を逆数にしてかけます
$=\color{red}\cancelto{6}{\color{black}18a}\color{black}b\times\dfrac{8}{\color{red}\cancel{\color{black}3a}}\times b$
$=6b\times 8\times b$
$=48b\times b$
$=48b^{2}$

解答$6\sqrt{\,2\,}$

$x^{2}y-xy^{2}=xy(x-y)$$x$ と $y$ の値は変形した式に代入します

ここで，
$xy=(\sqrt{\,5\,}+\sqrt{\,2\,})(\sqrt{\,5\,}-\sqrt{\,2\,})$
$=\{\sqrt{\,5\,}\}^{2}-\{\sqrt{\,2\,}\}^{2}$
$=5-2$
$=3$
$x-y=(\sqrt{\,5\,}+\sqrt{\,2\,})-(\sqrt{\,5\,}-\sqrt{\,2\,})$
$=\sqrt{\,5\,}+\sqrt{\,2\,}-\sqrt{\,5\,}+\sqrt{\,2\,}$
$=2\sqrt{\,2\,}$

よって，
$x^{2}y-xy^{2}=xy(x-y)$
$=3\times 2\sqrt{\,2\,}$
$=6\sqrt{\,2\,}$

解答 ウ，カ

下の図のように組み立てた場合(山折り：文字が表面に見えるように折る)を考えます。

※ 谷折り(文字が内側になるように折る)にしても各面の位置関係は同じになります。

解答エ

ア$\quad y=-\dfrac{x}{\;2\;}\qquad\;$

$x$ の値の変域が無い場合，$y$ の値はすべての数をとります。

イ$\quad y=-\dfrac{2}{\;x\;}\qquad\;$

$x$ の値の変域が無い場合，$y$ の値は $0$ 以外のすべての数をとります。

ウ$\quad y=-2x+3\qquad\;\;$

$x$ の値の変域が無い場合，$y$ の値はすべての数をとります。

エ$\quad y=-2x^{2}$

$x$ の値の変域が無い場合，$y$ の値は $0$ 以下の数をとり，正の値はとりません。

解答$24\pi$ cm

図 2 に下図のように線分を書き加えると，
合同な円の半径だから OA ＝ OB ＝ O'A ＝ O'B
$2$ 組の対辺がそれぞれ等しいので，四角形 AOBO' は平行四辺形です。

また，仮定から ∠OAO' ＝ ∠OBO' ＝ $90°$ で，四角形の内角の和は $360°$ だから，
∠AOB $\,+$ ∠AO'B $= 360° - ($ ∠OAO' $+$ ∠OBO' $) = 360°-180°=180°$
平行四辺形の対角は等しいので，
∠AOB $=$ ∠AO'B $= 180° \div 2 = 90°$
※ 4 つの辺と 4 つの角がすべて等しいので，四角形 AOBO' は正方形です。

よって，弧 AB は半径 $4$ cm，中心角 $90°$ のおうぎ形の弧（図 3 ）です。

弧 AB $=2\pi\times 4 \times \dfrac{90}{\,360\,}=8\pi\times\dfrac{1}{\;4\;}=2\pi$ (cm)

図 1 の図形の周の長さ ( この問題の求める長さ ) は，
半径 $4$ cm の円の円周 $5$ つ分から，弧 AB を $8$ つ分引いた長さです（ 下の図 ）。

図 1 の図形の周 $=$ ( 半径 $4$ cm の円の円周 $\times 5$ )$-$( 弧 AB $\times 8$ )
$=\{(\, 2\pi\times 4\,)\times 5\,\}-(\,2\pi\times 8\,)$
$=40\pi-16\pi$
$=24\pi$ (cm)

解答$\dfrac{1}{\;18\;}$

$2$ 個のさいころの目の出方は $6\times 6=36$（通り）です。
そのすべての場合について，P の位置と Q の位置を下の表に示します。

表から， P の位置が頂点 B で，Q の位置が頂点 D になる場合は $2$ 通りあります。
よって，求める確率は,

$\dfrac{2}{\;36\;}=\dfrac{1}{\;18\;}$

解答$\dfrac{1}{\;4\;}$

すべての場合について，P の位置と Q の位置を下の表に示します。

表から， P の位置と Q の位置が同じ頂点になる場合は $9$ 通りあります。
よって，求める確率は，

$\dfrac{9}{\;36\;}=\dfrac{1}{\;4\;}$

解答$\dfrac{5}{\;18\;}$

すべての場合について，P の点数と Q の点数を下の表に示します。

表から， P の点数が Q の点数より高くなる場合は $10$ 通りあります。
よって，求める確率は，

$\dfrac{10}{\;36\;}=\dfrac{5}{\;18\;}$

解答$20$ g

$400$ g の食塩水 A ( 濃度 $5$ ％ ) にふくまれる食塩の重さは，

$400\times\dfrac{5}{\;100\;}=20$ (g)

解答$4$ %

水には食塩はふくまれていないので，
食塩水 B の食塩の重さは，食塩水 A の食塩の重さと同じです。
(1)から，食塩水 A の食塩の重さは $20$ g だから，
食塩水 B にふくまれる食塩の重さは $20$ g

食塩水 B は，食塩水 A $400$ g と水 $100$ g を混ぜたものだから，
食塩水 B の重さは，$400 + 100 = 500$ (g)

よって，食塩水 B の濃度は,

$\dfrac{20}{\;500\;}\times 100=4$ (%)

解答$125$ g

(2)から，食塩水 B は，重さ $500$ g で，$20$ g の食塩をふくんでいます。
これに，重さ $x$ g，濃度 $9$ % の食塩水 C を混ぜると，濃度が $5$ % になるとします。

食塩水 C の食塩の重さは，

$x\times \dfrac{9}{\;100\;}=\dfrac{9}{\;100\;}x$ (g)

また，できた食塩水は，重さ $500+x$ (g)，濃度 $5$ % だから，
できた食塩水の食塩の重さは，

$( 500 + x )\times \dfrac{5}{\;100\;}=\dfrac{5}{\;100\;}( 500 + x )$ (g)

各食塩水にふくまれる食塩の重さについて方程式をつくります。

食塩水 B の食塩 ＋ 食塩水 C の食塩 ＝ できた食塩水の食塩

$20+\dfrac{9}{\;100\;}x=\dfrac{5}{\;100\;}( 500+x )$両辺に $100$ をかけます

$2000+9x=5( 500+x )$
$2000+9x=2500+5x$
$4x=500$
$x=125$

よって，食塩水 C を $125$ g 混ぜればよいことになります。

解答$\dfrac{1}{\;4\;}$

問題文から，$0≦x≦8$ の範囲では，$x$ と $y$ との関係は $y=ax^{2}$ で表される。
表から，$x=8$ のとき，$y=16$ だから，この値を $y=ax^{2}$ に代入して，

$16=a\times 8^{2}$
$16=64a$
$a=\dfrac{1}{\;4\;}$

よって，$0≦x≦8$ の範囲では，$\;y=\dfrac{1}{\;4\;}x^{2}\;\;$が成り立ちます。

解答ア $=4$，イ $=32$

(1) で求めた式は，$0≦x≦8$ の範囲で成り立つから，$x$＝ア のときも成り立ちます。
$y$＝ 4 を $y=\dfrac{1}{\;4\;}x^{2}$ に代入して，

$4=\dfrac{1}{\;4\;}x^{2}$
$16=x^{2}$
$x=\pm4$

$x≧0$ だから $x=4$  ア$4$

$8$ 秒から $12$ 秒の間は一定の速さで走行したので，
$8$ 秒から $10$ 秒までの $2$ 秒間に進む距離と，
$10$ 秒から $12$ 秒までの $2$ 秒間に進む距離は等しい。

$8$ 秒から $10$ 秒の間に進んだ距離は，表より，
$24-16=8$ (m)

よって，$10$ 秒から $12$ 秒の間に進んだ距離も $8$ m です。
イ $=24+8=32$  イ$32$

※ (3)でつくる 8 ≦ $x$ ≦ 12 における式を使って求めてもよい。

解答$y=4x-16$

問題文より， $8$ 秒以降は一定の速さで走行しているので，
$8≦x≦12$ の変域では，変化の割合が一定であるといえます。

つまり，$8≦x≦12$ において，$y$ は $x$ の 1 次関数になります。

$x$ と $y$ の関係を表す式を $y=ax+b$ と表すと，

$a=\dfrac{32-24}{\;12-10\;}=\dfrac{8}{\;2\;}=4$

よって，求める式は $y=4x+b$ となり，

さらに，この式に $x=10$，$y=24$ を代入すると，

$24=4\times 10+b$
$24=40+b$
$b=-16$

したがって，求める式は

$y=4x-16$

解答

$0≦x≦8$ のとき，$y=\dfrac{1}{\;4\;}x^{2}$

$8≦x≦12$ のとき，$y=4x-16$

解答$5$ m

花子さんが 2 秒間に進む距離は，
$y=\dfrac{1}{\;4\;}x^{2}$ に $x=2$ を代入して，

$y=\dfrac{1}{\;4\;}\times 2^{2}=\dfrac{\;1\;}{\;4\;}\times 4=1$ (m)

よって，花子さんは地点 P から東に $1$ m のところ ( 地点 Q とします ) で，
太郎さんに追いつかれました。

太郎さんの走る速さは，秒速 $3$ m なので，
花子さんが $2$ 秒間進んでいる間に，
太郎さんは， $3\times 2=6$ (m) 進んでいます。

つまり，花子さんが地点 P を出発したとき，
太郎さんは地点 Q から 西に $6$ m の場所を通過したことになります。

よって， 花子さんが地点 P を出発したとき，
太郎さんは地点 P から西に $6-1=5$ (m) の場所を通過しました。

したがって，花子さんが地点 P を出発したとき，
花子さんと太郎さんの間の距離は $5$ m です。

解答$11$ 秒後

(ア)から， 太郎さんが地点 P を通過してから $x$ 秒後に通過する場所を，
地点 P から東に $y$ m とすると，$x$ と $y$ との関係は下の表のようになります。

太郎さんは一定の速さで走っているので，
$y$ は $x$ の $1$ 次関数になります。
$x$ と $y$ の関係を表す式を $y=ax+b$ と表すと，上の表から，

$a=\dfrac{\;1-(-5)\;}{2-0}=\dfrac{6}{\;2\;}=3$

よって，式は $y=3x+b$ となり，
さらに，この式に $x=2$，$y=1$ を代入して，

$1=3\times 2+b$
$1=6+b$
$b=-5$

したがって，$x$ と $y$ の関係を表す式は

$y=3x-5$

花子さんと太郎さんの式をグラフにすると下のようになります。

グラフから，花子さんが太郎さんに追いつくのは $8≦x≦12$ の間なので，
花子さんが太郎さんに追いつく時間は

連立方程式 $\;\left\{\begin{array}{l}y=4x-16\\y=3x-5\end{array}\right.\;$ を解けば求められます。

$4x-16=3x-5$
$x=11$

よって，花子さんは地点 P を出発してから $11$ 秒後に追いつきます。

解答$\dfrac{9}{\;5\;}$ cm

折り返した図形なので BE $=$ BC，ED $=$ CD です。

四角形 ABCD は長方形で，AB $=3$ cm なので，CD $=3$ cm です。
また BC $=4$ cm より，

BE $=$ BC $=4$ (cm)， ED $=$ CD $=3$ (cm)

△BDE は ∠E $＝90°$ の直角三角形なので，三平方の定理から，

BD $=\small\sf\sqrt{\,BE^{2}+ED^{2}\,}$
$=\sqrt{\,4^{2}+3^{2}\,}$
$=\sqrt{\,25\,}$
$=5$ (cm)

(1)から，△ABG ∽ △BDE だから，

AB：BD $=$ BG：DE
$3$：$5$ $=$ BG：$3$
$5\times$BG $=$ $3\times 3$
BG $=$ $\dfrac{\;9\;}{5}$ (cm)

さらに，同様にして AG の長さも求めておきます。
次の（イ）で使います。

AB：BD $=$ AG：BE
$3$：$5$ $=$ AG：$4$
$5\times$AG $=$ $3\times 4$
AG $=$ $\dfrac{\;12\;}{5}$ (cm)

解答$\dfrac{21}{20}$ cm

△BDE と △BHG で，
仮定から，∠BED ＝ ∠BGH･･････①
共通な角だから，
∠BDE ＝ ∠BDC･･････②
①，②から，2 組の角がそれぞれ等しいので，
△BDE ∽ △BHG

また，（ア）から，

BG $=\dfrac{\;9\;}{5}$，AG $=\dfrac{\;12\;}{5}$

上で証明したように，△BDE ∽ △BHG だから，

BE：BG $=$ DE：HG
$4$：$\dfrac{9}{\;5\;}$ $=$ $3$：HG
$4\times$HG $=$ $\dfrac{9}{\;5\;}\times 3$
HG $=$ $\dfrac{\;27\;}{20}$ (cm)

よって，

AH $=$ AG $-$ HG
$=\dfrac{\;12\;}{5}-\dfrac{27}{\;20\;}$
$=\dfrac{21}{\;20\;}$ (cm)

解答$1$ 月 $14$ 日と $5$ 月 $4$ 日

(1) から，手順で求めた $x$ 月 $y$ 日 の数 $(5x+2y)$ は，
$x$(月)の数を 2 増やし，$y$(日)の数を $5$ 減らせば変化しません。

このことから，$3$ 月 $9$ 日と同じ数なのは，
月が $3+2=5$
日が $9-5=4$
つまり $5$ 月 $4$ 日です。

また，(1)の エ のように考えると，
$x$ の数を $2$ 減らし，$y$ の数を $5$ 増やしても，$5x+2y$ の値は変化しません。

このことから， $3$ 月 $9$ 日と同じ数なのは，
月が $3-2=1$
日が $9+5=14$
つまり $1$ 月 $14$ 日です。

解答$20$ 日

(2)から，手順どおりにつくった数が，他の日からつくった数と同じになる日は，

①「月」の数を $2$ 増やし，「日」の数を $5$ 減らす
②「月」の数を $2$ 減らし，「日」の数を $5$ 増やす

という $2$ つの操作の「少なくとも片方」ができる日です。

ということは， 手順どおりにつくった数が，
他の日からつくった数と同じにならない日は，
上の①，②の操作がどちらもできない日ということになります。

例．$2$ 月 $3$ 日の場合
①の操作を行うと，$4$ 月 $-2$ 日になり，
②の操作を行うと，$0$ 月 $8$ 日になるので，
$2$ 月 $3$ 日 と同じ数になる月日はありません。

まず，①の操作ができない月日を調べると，
$1$ 月から $10$ 月のそれぞれ $1$ 日から $5$ 日までと，$11$，$12$ 月の全日

次に，②の操作ができない月日を調べると，
$1$，$2$ 月の全日，$3$ 月から $12$ 月のそれぞれ月末およそ $5$ 日間（ 下の《参考》）
になります。
よって，①，②の操作がどちらもできない月日は，

「 $1$ 月の $1$ 日から $5$ 日」の $5$ 日間
「 $2$ 月の $1$ 日から $5$ 日」の $5$ 日間
「 $11$ 月の $26$ 日から $30$ 日」の $5$ 日間
「 $12$ 月の $27$ 日から $31$ 日」の $5$ 日間

の合計 $20$ 日間です。

《 参 考 》
3 月から 12 月までで，②の操作ができない日
・3 月 ･･･ 27 日から31日（ 1 月の 32 日～ 36 日になる）
・4 月 ･･･ 25 日から30日（ 2 月の 30 日～ 35 日になる）
・5 月 ･･･ 27 日から31日（ 3 月の 32 日～ 36 日になる）
・6 月 ･･･ 26 日から30日（ 4 月の 31 日～ 35 日になる）
・7 月 ･･･ 27 日から31日（ 5 月の 32 日～ 36 日になる）
・8 月 ･･･ 26 日から31日（ 6 月の 31 日～ 36 日になる）
・9 月 ･･･ 27 日から30日（ 7 月の 32 日～ 35 日になる）
・10 月 ･･･ 27 日から31日（ 8 月の 32 日～ 36 日になる）
・11 月 ･･･ 26 日から30日（ 9 月の 31 日～ 35 日になる）
・12 月 ･･･ 27 日から31日（ 10 月の 32 日～ 36 日になる）