34013中３・２次方程式・計算問題・平方根の考え方で解く3

2023年2月28日 最終更新日時 : 2023年7月17日 アバター画像banno

計算問題 》平方根の考え方で解く③

次の 2 次方程式を解きなさい。ただし「2 次方程式の解の公式」は使わないこと。

(1)   $x^{2}+4x+1=0$

(2)   $x^{2}-8x+8=0$

(3)   $x^{2}+3x-5=0$

(4)   $2x^{2}-5x+1=0$

(5)   $3x^{2}+7x+3=0$

解答・解説

２次方程式の解法 《 平方根の考え方③ 》

2 次方程式$\;\;ax^{2}+bx+c=0\;\;$は，

$(x+m)^{2}=k\;\;$の形に変形して解く。

例１$\;\;\begin{eqnarray}x^{2}+6x-5=0\end{eqnarray}$ の変形

$\qquad\qquad\begin{eqnarray}x^{2}+6x-5&=&0\\[4pt]x^{2}+6x&=&5\,\;\qquad\cdots①\\[4pt]x^{2}+6x\color{red}+3^{2}&=&5\color{red}+3^{2}\color{black}\;\cdots②\\[4pt](x+3)^{2}&=&14\end{eqnarray}$

※ ①→② $\;\;$項 $6x$ の係数の半分の $2$ 乗，

すなわち $3^{2}$ を両辺に加えると，

左辺を $(x+m)^{2}$ の形に因数分解できる

例２$\;\;\begin{eqnarray}3x^{2}+5x+1=0\end{eqnarray}$ の変形

$\,\;\quad\quad\begin{eqnarray}3x^{2}+5x+1&=&0\\[2pt]3x^{2}+5x&=&-1\\[5pt]x^{2}+\frac{5}{\;3\;}x&=&-\frac{1}{\;3\;}\qquad\qquad\cdots①\\[5pt]x^{2}+\frac{5}{\;3\;}x\color{red}+\Bigl(\frac{5}{\;6\;}\Bigr)^{2}&=&-\frac{1}{\;3\;}\color{red}+\Bigl(\frac{5}{\;6\;}\Bigr)^{2}\color{black}\;\cdots②\\[5pt]\Bigl(x+\frac{5}{\;6\;}\Bigr)^{2}&=&\frac{13}{\;36\;}\end{eqnarray}$

※ ①→② $\;\;$項 $\frac{5}{\,3\,}x$ の係数の半分の $2$ 乗，

すなわち $(\frac{5}{\,6\,})^{2}$ を両辺に加えると，

左辺を $(\,x+m\,)^{2}$ の形に因数分解できる

(1) $\;\begin{eqnarray}x^{2}+4x+1=0\;\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}x^{2}+4x+1&=&0\\[3pt]x^{2}+4x&=&-1\\[3pt]x^{2}+4x+2^{2}&=&-1+2^{2}\\[3pt](\,x+2\,)^{2}&=&3\\[3pt]x+2&=&\pm\sqrt{3\,}\\[3pt]x&=&-2\pm\sqrt{3\,}\end{eqnarray}$

答$x=-2\pm\sqrt{3\,}$

(2) $\;\begin{eqnarray}x^{2}-8x+8=0\;\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}x^{2}-8x+8&=&0\\[3pt]x^{2}-8x&=&-8\\[3pt]x^{2}-8x+(\,-4\,)^{2}&=&-8+(\,-4\,)^{2}\\[3pt](\,x-4\,)^{2}&=&8\\[3pt]x-4&=&\pm\sqrt{8\,}\\[3pt]x&=&4\pm2\sqrt{2\,}\end{eqnarray}$

答$x=4\pm2\sqrt{2\,}$

(3) $\;\begin{eqnarray}x^{2}+3x-5=0\;\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}x^{2}+3x-5&=&0\\[3pt]x^{2}+3x&=&5\\[3pt]x^{2}+3x+\Bigl(\,\frac{3}{\;2\;}\,\Bigr)^{2}&=&5+\Bigl(\,\frac{3}{\;2\;}\,\Bigr)^{2}\\[3pt]\Bigl(\,x+\frac{3}{\;2\;}\,\Bigr)^{2}&=&\frac{\;29\;}{4}\\[3pt]x+\frac{3}{\;2\;}&=&\pm\frac{\;\sqrt{29\,}\;}{2}\\[3pt]x&=&-\frac{3}{\;2\;}\pm\frac{\;\sqrt{29\,}\;}{2}\\[3pt]x&=&\frac{\;-3\pm\sqrt{29\,}\;}{2}\end{eqnarray}$

答$x=\dfrac{\;-3\pm\sqrt{29\,}\;}{2}$

(4) $\;\begin{eqnarray}2x^{2}-5x+1=0\;\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}2x^{2}-5x+1&=&0\\2x^{2}-5x&=&-1\\[3pt]x^{2}-\frac{5}{\;2\;}x&=&-\frac{1}{\;2\;}\\[3pt]x^{2}-\frac{5}{\;2\;}x+\Bigl(\,-\frac{5}{\;4\;}\,\Bigr)^{2}&=&-\frac{1}{\;2\;}+\Bigl(\,-\frac{5}{\;4\;}\,\Bigr)^{2}\\[3pt]\Bigl(\,x-\frac{5}{\;4\;}\,\Bigr)^{2}&=&\frac{17}{\;16\;}\\[3pt]x-\frac{5}{\;4\;}&=&\pm\frac{\;\sqrt{17\,}\;}{4}\\[3pt]x&=&\frac{5}{\;4\;}\pm\frac{\;\sqrt{17\,}\;}{4}\\[3pt]&=&\frac{\;5\pm\sqrt{17\,}\;}{4}\end{eqnarray}$

答$x=\dfrac{\;5\pm\sqrt{17\,}\;}{4}$

(5) $\;\begin{eqnarray}3x^{2}+7x+3=0\;\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}3x^{2}+7x+3&=&0\\[3pt]3x^{2}+7x&=&-3\\[3pt]x^{2}+\frac{7}{\;3\;}x&=&-1\\[3pt]x^{2}+\frac{7}{\;3\;}x+\Bigl(\,\frac{7}{\;6\;}\,\Bigr)^{2}&=&-1+\Bigl(\,\frac{7}{\;6\;}\,\Bigr)^{2}\\[3pt]\Bigl(\,x+\frac{7}{\;6\;}\,\Bigr)^{2}&=&\frac{13}{\;36\;}\\[5pt]x+\frac{7}{\;6\;}&=&\pm\frac{\;\sqrt{13\,}\;}{6}\\[3pt]x&=&-\frac{7}{\;6\;}\pm\frac{\;\sqrt{13\,}\;}{6}\\&=&\frac{\;-7\pm\sqrt{13\,}\;}{6}\end{eqnarray}$

答$x=\dfrac{\;-7\pm\sqrt{13\,}\;}{6}$

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