33082中３・平方根・計算問題・乗法と除法2
banno計算問題 》乗法と除法②
次の計算をしなさい。ただし，分母を有理化して答えなさい。
(1) $\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{3\,}\;} \times \dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;3\;} \div \sqrt{6\,}$
(2) $\dfrac{\;3\;}{\;\sqrt{2\,}\;} \div \dfrac{\;2\;}{\;\sqrt{5\,}\;} \times \dfrac{\;4\;}{\;\sqrt{10\,}\;}$
(3) $\sqrt{63\,} \times \dfrac{\;3\;}{\;\sqrt{6\,}\;} \div \sqrt{\dfrac{\;7\;}{\;2\;}\,}$
(4) $\sqrt{\dfrac{\;20\;}{\;3\;}\,} \times \sqrt{45\,} \div \dfrac{\;5\;}{\;\sqrt{12\,}\;}$
(5) $\sqrt{125\,} \times \dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{112\,}\;} \div \sqrt{\dfrac{\;5\;}{\;48\;}\,}$
解答・解説
$(1)\;$答$\dfrac{\;1\;}{\;9\;}$
$\begin{eqnarray}\qquad\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{3\,}\;} \times \dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;3\;} \div \sqrt{6\,}&=&\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{3\,}\;} \times \dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;3\;} \times \dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{6\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{3\,}\;}{\;3\;} \times \dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;3\;} \times \dfrac{\;\color{red}\sqrt{6\,}\color{black}\;}{\;6\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\sqrt{3\,} \times \sqrt{2\,} \times \color{red}\sqrt{2\,} \times \sqrt{3\,}\color{black} \;}{\;3 \times 3 \times 6\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;(\,\sqrt{3\,}\,)^{2} \times (\,\sqrt{2\,}\,)^{2}\;}{\;3 \times 3 \times 6\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\color{red}\cancel{\color{black}3}\color{black} \times \color{blue}\cancelto{1}{\color{black}2}\color{black}\;}{\;\color{red}\cancel{\color{black}3}\color{black} \times 3 \times \color{blue}\cancelto{3}{\color{black}6}\color{black}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;1\;}{\;9\;} \end{eqnarray}\;\;$
※ $\dfrac{1}{\;\sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,1\; \times \sqrt{3\,}\;}{\;\sqrt{3\,} \times \sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{3\,}\;}{\;3\;}$
※ $\dfrac{1}{\;\sqrt{6\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,1\; \times \sqrt{6\,}\;}{\;\sqrt{6\,} \times \sqrt{6\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{6\,}\;}{\;6\;}$
別解
$\begin{eqnarray}\qquad\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{3\,}\;} \times \dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;3\;} \div \sqrt{6\,}&=&\dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{3\,}\;} \times \dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;3\;} \times \dfrac{\;1\;}{\;\color{red}\sqrt{6\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;1 \times \color{red}\cancel{\color{black}\sqrt{2\,}} \color{black}\times 1 \;}{\;\sqrt{3\,} \times 3 \times \color{red} \cancel{\sqrt{2\,}} \times \sqrt{3\,}\;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;1\;}{\;(\,\sqrt{3\,}\,)^{2} \times 3 \;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;1\;}{\;3 \times 3 \;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;1\;}{\;9\;} \end{eqnarray}\;\;$
$(2)\;$答$3$
$\begin{eqnarray}\qquad\dfrac{\;3\;}{\;\sqrt{2\,}\;} \div \dfrac{\;2\;}{\;\sqrt{5\,}\;} \times \dfrac{\;4\;}{\;\sqrt{10\,}\;}&=&\dfrac{\;3\;}{\;\sqrt{2\,}\;} \times \dfrac{\;\sqrt{5\,}\;}{\;2\;} \times \dfrac{\;4\;}{\;\sqrt{10\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;3\sqrt{2\,}\;}{\;2\;} \times \dfrac{\;\sqrt{5\,}\;}{\;2\;} \times \dfrac{\;2\sqrt{10\,}\;}{\;5\;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;3\sqrt{2\,} \times \sqrt{5\,} \times 2\sqrt{10\,}\;}{\;2 \times 2 \times 5\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;3 \times \sqrt{2\,} \times \sqrt{5\,} \times 2 \times \sqrt{2\,} \times \sqrt{5\,}\;}{\;2 \times 2 \times 5\;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;3 \times 2 \times (\,\sqrt{2\,}\,)^{2} \times (\,\sqrt{5\,}\,)^{2} \;}{\;2 \times 2 \times 5\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;3 \times \color{red}\cancel{\color{black}2}\color{black} \times \color{red}\cancel{\color{black}2}\color{black} \times \color{red}\cancel{\color{black}5}\color{black}\;}{\;\color{red}\cancel{\color{black}2}\color{black} \times \color{red}\cancel{\color{black}2}\color{black} \times \color{red}\cancel{\color{black}5}\color{black}\;}\\[5pt]&=&3 \end{eqnarray}\;\;$
※ $\dfrac{3}{\;\sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,3\; \times \sqrt{2\,}\;}{\;\sqrt{2\,} \times \sqrt{2\,}\;}=\dfrac{\;3\sqrt{2\,}\;}{\;2\;}$
※ $\dfrac{4}{\;\sqrt{10\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,4\; \times \sqrt{10\,}\;}{\;\sqrt{10\,} \times \sqrt{10\,}\;}=\dfrac{\;\color{red}\cancelto{2}{\color{black}4}\color{black}\sqrt{10\,}\;}{\;\color{red}\cancelto{5}{\color{black}10}\;}=\dfrac{\;2\sqrt{10\,}\;}{\;5\;}$
別解
$\begin{eqnarray}\qquad\dfrac{\;3\;}{\;\sqrt{2\,}\;} \div \dfrac{\;2\;}{\;\sqrt{5\,}\;} \times \dfrac{\;4\;}{\;\sqrt{10\,}\;}&=&\dfrac{\;3\;}{\;\sqrt{2\,}\;} \times \dfrac{\;\sqrt{5\,}\;}{\;2\;} \times \dfrac{\;4\;}{\;\color{red}\sqrt{10\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;3 \times \sqrt{5\,} \times 4\;}{\;\sqrt{2\,} \times 2 \times \color{red}\sqrt{2\,} \times \sqrt{5\,}\;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;3 \times \color{red}\cancel{\color{black}\sqrt{5\,}}\color{black} \times \color{blue}\cancelto{2}{\color{black}4}\color{black}\;}{\;(\,\sqrt{2\,}\,)^{2} \times \color{blue}\cancelto{1}{\color{black}2}\color{black} \times \color{red}\cancel{\color{black}\sqrt{5\,}}\color{black}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;3 \times 2\;}{\;2\;}\\[5pt]&=&3 \end{eqnarray}\;\;$
$(3)\;$答$3\sqrt{3\,}$
$\begin{eqnarray}\qquad\sqrt{63\,} \times \dfrac{\;3\;}{\;\sqrt{6\,}\;} \div \sqrt{\dfrac{\;7\;}{\;2\;}\,}&=&\sqrt{63\,} \times \dfrac{\;3\;}{\;\sqrt{6\,}\;} \times \dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;\sqrt{7\,}\;}\\[5pt]&=&3\sqrt{7\,} \times \dfrac{\;\sqrt{6\,}\;}{\;2\;} \times \dfrac{\;\sqrt{14\,}\;}{\;7\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;3\sqrt{7\,} \times \sqrt{6\,} \times \sqrt{14\,}\;}{\;2 \times 7\;}\\[5pt]&=& \dfrac{\;(\,3 \times \sqrt{7\,}\,) \times (\,\sqrt{2\,} \times \sqrt{3\,}\,) \times (\,\sqrt{2\,} \times \sqrt{7\,}\,)\;}{\;2 \times 7\;}\\[5pt]&=& \dfrac{\;3 \times (\,\sqrt{7\,}\,)^{2} \times (\,\sqrt{2\,}\,)^{2} \times \sqrt{3\,}\;}{\;2 \times 7\;}\\[5pt]&=& \dfrac{\; 3\times \color{red}\cancel{\color{black}7}\color{black} \times \color{blue}\cancel{\color{black}2}\color{black} \times \sqrt{3\,}\;}{\; \color{blue}\cancel{\color{black}2}\color{black} \times \color{red}\cancel{\color{black}7}\color{black}\;} \\[5pt]&=& 3\sqrt{3\,}\end{eqnarray}\;\;$
※ $\sqrt{63\,}=\sqrt{3^{2} \times 7\,}=3\sqrt{7\,}$
※ $\dfrac{3}{\;\sqrt{6\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,3\; \times \sqrt{6\,}\;}{\;\sqrt{6\,} \times \sqrt{6\,}\;}=\dfrac{\;\color{red}\cancelto{1}{\color{black}3}\color{black}\sqrt{6\,}\;}{\;\color{red}\cancelto{2}{\color{black}6}\;}=\dfrac{\;\sqrt{6\,}\;}{\;2\;}$
※ $\dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;\sqrt{7\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{2\,} \times \sqrt{7\,}\;}{\;\sqrt{7\,} \times \sqrt{7\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{14\,}\;}{\;7\;}$
別解
$\begin{eqnarray}\qquad\sqrt{63\,} \times \dfrac{\;3\;}{\;\sqrt{6\,}\;} \div \sqrt{\dfrac{\;7\;}{\;2\;}\,}&=&\color{red}\sqrt{63\,}\color{black} \times \dfrac{\;3\;}{\;\color{blue}\sqrt{6\,}\color{black}\;} \times \dfrac{\;\sqrt{2\,}\;}{\;\sqrt{7\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\color{red}3 \times \sqrt{7\,} \color{black} \times 3 \times \sqrt{2\,}\;}{\; \color{blue}\sqrt{2\,} \times \sqrt{3\,}\color{black} \times \sqrt{7\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;3 \times \color{red}\cancel{\color{black}\sqrt{7\,}}\color{black} \times 3 \times \color{blue}\cancel{\color{black}\sqrt{2\,}}\color{black}\;}{\;\color{blue}\cancel{\color{black}\sqrt{2\,}}\color{black} \times \sqrt{3\,} \times \color{red}\cancel{\color{black}\sqrt{7\,}}\color{black}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{9}{\;\sqrt{3\,}\;} \\[5pt]&=& 3\sqrt{3\,}\end{eqnarray}\;\;$
$(4)\;$答$12$
$\begin{eqnarray}\qquad\sqrt{\dfrac{\;20\;}{\;3\;}\,} \times \sqrt{45\,} \div \dfrac{\;5\;}{\;\sqrt{12\,}\;}&=&\dfrac{\;\sqrt{20\,}\;}{\;\sqrt{3\,}\;} \times \sqrt{45\,} \times \dfrac{\;\sqrt{12\,}\;}{\;5\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;2\sqrt{15\,}\;}{\;3\;} \times 3\sqrt{5\,} \times \dfrac{\;2\sqrt{3\,}\;}{\;5\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;2\sqrt{15\,} \times \color{red}\cancel{\color{black}3}\color{black}\sqrt{5\,} \times 2\sqrt{3\,}\;}{\;\color{red}\cancel{\color{black}3}\color{black} \times 5\;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;2 \times \sqrt{3\,} \times \sqrt{5\,} \times \sqrt{5\,} \times 2 \times \sqrt{3\,}\;}{\;5\;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;2 \times 2 \times (\,\sqrt{3\,}\,)^{2} \times (\,\sqrt{5\,}\,)^{2} \;}{\;5\;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;4 \times 3 \times \color{red}\cancel{\color{black}5}\color{black}\;}{\;\color{red}\cancel{\color{black}5}\color{black}\;} \\[5pt]&=&12\end{eqnarray}\;\;$
※ $\dfrac{\;\sqrt{20\,}\;}{\;\sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;2\sqrt{5\,}\;}{\;\sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;2\sqrt{5\,} \times \sqrt{3\,}\;}{\;\sqrt{3\,} \times \sqrt{3\,}\;}=\dfrac{\;2\sqrt{15\,}\;}{\;3\;}$
※ $\sqrt{45\,}=\sqrt{3^{2} \times 5\,}=3\sqrt{5\,}$
※ $\dfrac{\;\sqrt{12\,}\;}{5}=\dfrac{\;\sqrt{2^{2} \times 3\,}\;}{\;5\;}=\dfrac{\;2\sqrt{3\,}\;}{\;5\;}$
別解
$\begin{eqnarray}\qquad\sqrt{\dfrac{\;20\;}{\;3\;}\,} \times \sqrt{45\,} \div \dfrac{\;5\;}{\;\sqrt{12\,}\;}&=&\dfrac{\;\sqrt{20\,}\;}{\;\sqrt{3\,}\;} \times \sqrt{45\,} \times \dfrac{\;\sqrt{12\,}\;}{\;5\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;2\sqrt{5\,} \times 3\sqrt{5\,} \times 2\color{red}\cancel{\color{black}\sqrt{3\,}}\color{black}\;}{\;\color{red}\cancel{\color{black}\sqrt{3\,}}\color{black} \times 5\;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;2 \times 3 \times 2 \times (\,\sqrt{5\,}\,)^{2}\;}{\;5\;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;12 \times 5\;}{\;5\;} \\[5pt]&=&12\end{eqnarray}\;\;$
$(5)\;$答$\dfrac{\;5\sqrt{21\,}\;}{\;7\;}$
$\begin{eqnarray}\qquad\sqrt{125\,} \times \dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{112\,}\;} \div \sqrt{\dfrac{\;5\;}{\;48\;}\,}&=&\sqrt{125\,} \times \dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{112\,}\;} \times \dfrac{\;\sqrt{48\,}\;}{\;\sqrt{5\,}\;}\\[5pt]&=&5\sqrt{5\,} \times \dfrac{\;\sqrt{7\,}\;}{\;28\;} \times \dfrac{\;4\sqrt{15\,}\;}{\;5\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;5\sqrt{5\,} \times \sqrt{7\,} \times 4\color{red}\sqrt{15\,}\;}{\;28 \times 5\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;\color{red}\cancel{\color{black}5}\color{black} \times \sqrt{5\,} \times \sqrt{7\,} \times \color{blue}\cancelto{1}{\color{black}4}\color{black} \times \color{red} \sqrt{3\,} \times \sqrt{5\,}\;}{\;\color{blue}\cancelto{7}{\color{black}28}\color{black} \times \color{red}\cancel{\color{black}5}\color{black}\;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;(\,\sqrt{5\,}\,)^{2} \times \sqrt{7\,} \times \sqrt{3\,}\;}{\;7\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;5\sqrt{21\,}\;}{\;7\;}\end{eqnarray}\;\;$
※ $\sqrt{125\,}=\sqrt{5^{2} \times 5\,}=5\sqrt{5\,}$
※ $\dfrac{1}{\;\sqrt{112\,}\;}=\dfrac{1}{\;4\sqrt{7\,}\;}=\dfrac{\;\;\,\,1\;\;\; \times \sqrt{7\,}\;}{\;4\sqrt{7\,} \times \sqrt{7\,}\;}=\dfrac{\;\sqrt{7\,}\;}{\;28\;}$
※ $\dfrac{\;\sqrt{48\,}\;}{\;\sqrt{5\,}\;}=\dfrac{\;4\sqrt{3\,}\;}{\;\sqrt{5\,}\;}=\dfrac{\;4\sqrt{3\,} \times \sqrt{5\,}\;}{\;\sqrt{5\,} \times \sqrt{5\,}\;}=\dfrac{\;4\sqrt{15\,}\;}{\;5\;}$
別解
$\begin{eqnarray}\qquad\sqrt{125\,} \times \dfrac{\;1\;}{\;\sqrt{112\,}\;} \div \sqrt{\dfrac{\;5\;}{\;48\;}\,}&=&5\sqrt{5\,} \times \dfrac{\;1\;}{\;4\sqrt{7\,}\;} \times \dfrac{\;4\sqrt{3\,}\;}{\;\sqrt{5\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;5 \times \color{blue}\cancel{\color{black}\sqrt{5\,}}\color{black} \times \color{red}\cancel{\color{black}4}\color{black} \times \sqrt{3\,}\;}{\;\color{red}\cancel{\color{black}4}\color{black} \times \sqrt{7\,} \times \color{blue}\cancel{\color{black}\sqrt{5\,}}\color{black} \;} \\[5pt]&=&\dfrac{\;5\sqrt{3\,}\;}{\;\sqrt{7\,}\;}\\[5pt]&=&\dfrac{\;5\sqrt{21\,}\;}{\;7\;}\end{eqnarray}\;\;$
