岐阜県・公立高校入試 2020年度（ 令和2年度 ）解答・解説編

解答$7$

解答$y=-2x+3$

$4x+2y=6$左辺の $4x$ を右辺に移項します
$2y=-4x+6$両辺を $2$ で割ります
$y=-2x+3$

解答$2\sqrt{\,3\,}$

$\sqrt{\,27\,}+\sqrt{\,3\,}-\sqrt{\,12\,}$
$=\color{red} 3\sqrt{\,3\,}+\sqrt{\,3\,}\color{black}-2\sqrt{\,3\,}$
$=4\sqrt{\,3\,}-2\sqrt{\,3\,}$
$=2\sqrt{\,3\,}$

解答$14$

$x$ の値が $2$ から $5$ まで増加するときの変化の様子を表に表します。

$\begin{array}{c|ccc}\;\;x &\; 2 & \cdots & 5\;\, \\ \hline \;\;y & \;8 & \cdots & 50\; \ \end{array}$

変化の割合 $=\dfrac{\;y\,\sfの増加量\;}{x\,\sfの増加量}$

$=\dfrac{\;50-8\;}{\;5-2}$

$=\dfrac{\;42\;}{3}$
$=14$

解答$\dfrac{2}{\;5\;}$

取り出し方のすべての場合を樹形図(下の図)で表します。
全ての場合の数は，$4\times 5=20$ (通り)です。

つくった整数が偶数になる場合は，図から，
$12$，$14$，$24$，$32$，$34$，$42$，$52$，$54$ の $8$ 通りです。
その確率は，

$\dfrac{8}{\;20\;}=\dfrac{2}{\;5\;}$

解答$5\pi$ cm

下の図のように，2 つの円の接点を 点 C とし，
また，AC $=a$ cm とする。
このとき，BC $=(10-a)$ cm になります。

$\stackrel{\Large\frown}{\small\sf AC}\;=a \times \pi \times \dfrac{1}{\;2\;}$
$=\dfrac{1}{\;2\;}\pi a$ (cm)

$\stackrel{\Large\frown}{\small\sf BC}\;=(10-a) \times \pi \times \dfrac{1}{\;2\;}$
$=\dfrac{1}{\;2\;}\pi(10-a)$ (cm)

よって，

$\stackrel{\Large\frown}{\small\sf AC}+\stackrel{\Large\frown}{\small\sf BC}\;=\dfrac{1}{\;2\;}\pi a + \dfrac{1}{\;2\;}\pi(10-a)$
$=\dfrac{1}{\;2\;}\pi a + 5\pi - \dfrac{1}{\;2\;}\pi a$
$=5\pi$ (cm)

解答$22.5$ (分)

度数分布表において最頻値は，度数が一番多い階級の階級値です。

A 中学校で，度数が一番多い階級は，$20$ 分以上 $25$ 分未満の階級なので，
その階級値は，

$(\,20+25\,)\div 2 = 22.5$ (分)

これが A 中学校の最頻値です。

解答$0.3$

度数分布表から，B 中学校の通学時間が $15$ 分未満の生徒の数は，

$4+10+16=30$ (人)

よって，その相対度数は，

$\dfrac{30}{\;100\;}=0.3$

解答イ，エ

ア について

度数分布表において最頻値は，度数が一番多い階級の階級値です。

(1)から，A 中学校で，度数が一番多い階級は，$20$ 分以上 $25$ 分未満の階級です。
また， B 中学校で，度数が一番多い階級は，$15$ 分以上 $20$ 分未満の階級です。

度数が一番多い階級が異なるので，最頻値も異なります。
よって，正しくありません。

イ について

中央値は，データを大きさの順に並べたときの，真ん中にある値です。

A 中学校の度数の合計は $39$ 人なので，
中央値は通学時間が短い順に並べたときの $20$ 番目の値です。
この値がある階級は $15$ 分以上 $20$ 分未満の階級です。

また，B 中学校の度数の合計は $100$ 人なので，
中央値は通学時間が短い順に並べたときの $50$ 番目と $51$ 番目の平均の値です。
この値がある階級は $15$ 分以上 $20$ 分未満の階級です。

よって，A 中学校と B 中学校の，通学時間の中央値は同じ階級にあります。

ウ について

(2) から，B 中学校の通学時間が $15$ 分未満の生徒の相対度数は $0.3$ です。

また，度数分布表から，A 中学校の通学時間が $15$ 分未満の生徒の数は，

$0+6+7=13$ (人)

その相対度数は，

$\dfrac{13}{\;39\;}=0.333･･･$

よって，A 中学校の相対度数の方が大きいので，正しくありません。

エ について

範囲は，データの最大値と最小値との差です。

A 中学校の通学時間の最小値は，
$5$ 分以上 $10$ 分未満の階級の値で，
最大値は，
$30$ 分以上 $35$ 分未満の階級の値です。

また，B 中学校の通学時間の最小値は，
$0$ 分以上 $5$ 分未満の階級の値で，
最大値は，
$35$ 分以上 $40$ 分未満の階級の値です。

これらより，
最小値がより小さい値であるのは B 中学校であり，
最大値がより大きい値であるのも B 中学校であることが分かります。

よって，A 中学校より B 中学校の方が，通学時間の範囲が大きいといえます。

解答$x-7$

上下に隣接している数について，
上の数は下の数より $7$ 小さい数になっています。
つまり，最も小さい数は，$2$ 番目に小さい数よりも $7$ 小さい数です。

よって，最も小さい数は，$x-7$ と表せます。

解答$x+1$

左右に隣接している数について，
右の数は左の数より $1$ 大きい数になっています。
つまり，最も大きい数は，$2$ 番目に小さい数よりも $1$ 大きい数です。

よって，最も大きい数は，$x+1$ と表せます。

解答$x^{2}-16x+48=0$

③から，次の式をつくることができます。

最も小さい数の $2$ 乗 $+$ $2$ 番目に小さい数の $2$ 乗 $=$ 最も大きい数の $2$ 乗

$(\,x-7\,)^{2}+x^{2}=(\,x+1\,)^{2}$
$(\,x^{2}+-14x+49\,)+x^{2}=x^{2}+2x+1$
$x^{2}-16x+48=0$

解答$5$，$12$，$13$

(1) の (ウ) でつくった 2 次方程式を解きます。

$x^{2}-16x+48=0$
$(\,x-4\,)(\,x-12\,)=0$
$x=4$，$x=12$

〔1〕$x=4$ のとき，カレンダーではその上の数（ 最も小さい数 ）がありません。
よって，不適切です。

〔2〕$x=12$ のとき，カレンダーでは，
その上の数（ 最も小さい数 ）は $5$，
その右の数（ 最も大きい数 ）は $13$ です。
よって，$3$ つの数は $5$，$12$，$13$ です。

管 $a$ と 管 $b$ の給水量は同じで，一定だから，
水面の高さは時間の経過とともに一定の割合で増加していきます。
つまり，$y$ の値が増加するすべての時間において，
$y$ は $x$ の一次関数であるといえます。

下の図（ 容器を面 PQRS から見た図 ）で考えます。
容器を図のように ①，②，③ の部分に分けます。
水は ① が満水になった後，② が満水になり，最後に ③ が満水になります。

底面 $B$ の面積は底面 $A$ の面積の $2$ 倍だから，
② の部分の容積は ① の部分の容積の $2$ 倍です。

$A$ の面積を $V$ cm$^{2}$ とすると，$B$ の面積は $2V$ cm$^{2}$ になり，
① の容積は，$V \times 30=30V$ (cm$^{3}$)
② の容積は，$2V \times 30=60V$ (cm$^{3}$)
③ の容積は，$(\,V+2V\,) \times (\,40-30\,)=30V$ (cm$^{3}$)
と表すことができます。

問題文から，給水を始めて $10$ 分後に ① の部分が満水になったことから，
$a$ は1分間に，$30V \div 10=3V$ (cm$^{3}$) 給水しています。
$b$ も同じです。

$x$ と $y$ との関係を考えていきます。

〔1〕給水を始めてから ① が満水になるまで

$x$ の変域は $(\,0≦x≦10\,)$ で，
$x$ と $y$ の変化の様子は次の表のようになります。

$\begin{array}{c|ccc}\;\;x &\; 0 & \cdots & 10\;\, \\ \hline \;\;y & \;0 & \cdots & 30\; \ \end{array}$

$x$ と $y$ の関係を表す式を $y=ax+b$ と表すと，

$a=\dfrac{\;30-0\;}{\;10-0}=\dfrac{\;30\;}{10}=3$

よって，求める式は $y=3x+b$ となり，
さらに，この式に $x=0$，$y=0$ を代入して，

$0=3\times 0 +b$
$b=0$

したがって，給水を始めてから ① が満水になるまでの
$x$ と $y$ の関係を表す式は $y=3x$ $\;(\,0≦x≦10\,) $

※ 実際には $y$ が $x$ に比例していることは明らかなので，
求める式を $y=ax$ とし，$x=10$，$y=30$ を代入して $a$ を求めます。

〔2〕① が満水になってから ② が満水になるまで

① が満水になると，① から溢れた水は ② に入っていきます。
その間 $y$ の値は一定で，$30$ のままです。
この状態は，② が満水になるまで続きます。

その間の時間の $x$ と $y$ の関係を表す式は，$y=30$ です。

給水を始めてから，①，② が満水になるまでの時間を求めます。

$a$ と $b$ 両方を同時に開くと，
$1$ 分間に $3V\times 2 = 6V$ (cm$^{3}$) ずつ給水されます。
また，① と ② の容積の合計は，$30V+60V=90V$(cm$^{3}$) です。

これらから，給水を始めてから，①，② が満水になるまでの時間は，

$90V\div 6V = 15$ (分)

したがって，① が満水になってから ② が満水になるまでの
$x$ と $y$ の関係を表す式は $y=3x$ $\;(\,0≦x≦10\,) $

〔3〕② が満水になってから ③ が満水になるまで

③ に水が入り始めるのは〔2〕から，給水を始めてから $15$ 分後です。
また，問題文から ③ が満水になるのは，始めから $20$ 分後です。
これらから，$x$ の変域は $(\,15≦x≦20\,)$ です。
$x$ と $y$ の変化の様子は次の表のようになります。

$\begin{array}{c|ccc}\;\;x &\; 15 & \cdots & 20\;\, \\ \hline \;\;y & \;30 & \cdots & 40\; \ \end{array}$

$x$ と $y$ の関係を表す式を $y=ax+b$ と表すと，

$a=\dfrac{\;40-30\;}{\;20-15\;}=\dfrac{\;10\;}{5}=2$

よって，求める式は $y=2x+b$ となり，
さらに，この式に $x=15$，$y=30$ を代入して，

$30=2\times 15 +b$
$\;\;b=0$

したがって， $x$ と $y$ の関係を表す式は $y=2x$ $\;(\,15≦x≦20\,) $

解答ア $18$  イ $30$

(1) ～ (3) の解説 から，
$0≦x≦10$ のとき， $x$ と $y$ の関係を表す式は $y=3x$ だから，
$x=6$ のときの $y$ の値は，

$y=3\times 6 = 18$ア18

(1) ～ (3) の解説 から，
$10≦x≦15$ のとき， $x$ と $y$ の関係を表す式は $y=30$ だから，
$x=15$ のときの $y$ の値は $30$ です。イ30

解答

(1) ～ (3) の解説から，
$x$ と $y$ の関係は下の表のようになります。

$\begin{array}{c|ccccccc}\;\;x &\; 0 & \cdots & 10 & \cdots & 15 & \cdots & 20 \;\, \\ \hline \;\;y & \;0 & \cdots & 30 & \cdots & 30 & \cdots & 40 \; \ \end{array}$

よって，座標 $(\;0,\;0\;)$，$(\;10,\;30\;)$， $(\;15,\;30\;)$， $(\;20,\;40\;)$ を直線で結びます。

解答$y=3x$

(1) ～ (3) の解説 の通りです。

解答$y=2x$

(1) ～ (3) の解説 の通りです。

解答$1$ 分 $20$ 秒後，$14$ 分 $20$ 秒後

管 $a$ と 管 $b$ の給水量は同じで，
底面 $B$ の面積は底面 $A$ の面積の $2$ 倍だから，
① が満水になったとき ( 給水を開始して $10$ 秒後 )，
② には ① の半分の高さまで水が入っています。
つまり，
$A$ 側の水面の高さが $30$ cm になったとき，
$B$ 側の水面の高さは $15$ cm になっています。

まず，① が満水になるまでの間 $(\,0≦x≦10\,)$，
$A$ 側の水面は $1$ 分間に $30\div 10=3$ (cm) ずつ増加し，
$B$ 側の水面は $1$ 分間に $15\div 10=1.5$ (cm) ずつ増加します。
よって，$A$ 側と $B$ 側の水面の高さの差は，
$1$ 分間に $3-1.5=1.5$ (cm) ずつ増加していきます。… ア

次に，① が満水になってから，② が満水になるまでの間は，
$A$ 側の水面の高さは $30$ cm のままで，
$B$ 側の水面の高さだけが上昇していきます。
その時，② には $a$ と $b$ 両方から給水されることになるので，
$B$ 側の水面は，$b$ だけで給水するときの $2$ 倍，
つまり，$1$ 分間に $1.5\times 2 =3$ (cm) ずつ増加します。
よって，$A$側 の水面と$B$ 側の水面の高さの差は，
$1$ 分間に $3$ cm ずつ縮まっていきます。… イ

これらのことから，
$A$ 側の水面の高さと $B$ 側の水面の高さの差が $2$ cm になるときは，

〔1〕給水を始めてから $a$ が ① を，$b$ が ② に給水している間
と，
〔2〕① が満水になってから，② が満水になるまでの間
のそれぞれに $1$ 回ずつあることが分かります。

〔1〕給水を始めてから $a$ が ① を，$b$ が ② に給水している間

はじめ水面の高さの差は $0$ cm です。
上の ア から，水面の高さの差は，
$1$ 分間に $1.5$ (cm) ずつ増加していくので，
差が $2$ cm になるまでの時間は，

$2\div 1.5 = 2\div\dfrac{3}{\;2\;}$
$=2\times \dfrac{2}{\;3\;}$
$=\dfrac{4}{\;3\;}$
$=1\dfrac{1}{\;3\;}$ (分)
$=1$ 分 $20$ 秒

〔2〕① が満水になってから，② が満水になるまでの間

① が満水になったとき，
$A$ 側の水面の高さは $30$ cm で，
$B$ 側の水面の高さは $15$ cm なので，
その差は $30-15=15$ (cm) です。

上の イ から，この差は $1$ 分間に $3$ cm ずつ縮まっていくので，
差が $2$ cm になるには，$15-2=13$ (cm) 縮まればよいです。
それまでの時間は，

$13\div 3 = \dfrac{\;13\;}{3}$
$=4\dfrac{1}{\;3\;}$ (分)
$=4$ 分 $20$ 秒

給水を開始してからの時間は，
$10$ 分 $+$ $4$ 分 $20$ 秒 $=$ $14$ 分 $20$ 秒

別 解

管を開いてから $x$ 分後の $B$ 側の水面の高さを $y$ cm としたときの
$x$ と $y$ との関係を表すグラフ $(\,0≦x≦15\,)$ を青線で表します。

青線のグラフの式は，

$\,\,0≦x≦10\;\;$ のとき $\;y=1.5x$
$10≦x≦15\;$ のとき $\;y=3x-15$

$0≦x≦10$ の範囲において，赤線のグラフの式は $y=3x$ だから，
この範囲において，給水開始 $s$ 分後のことを考えると，
$A$ 側の水面の高さは， $3s$ cm，
$B$ 側の水面の高さは， $1.5s$ cm，
水面の高さの差は， $3s-1.5s=1.5s$ (cm)

よって，差が $2$ cm になるのは，

$1.5s=2$
$s=\dfrac{4}{\;3\;}$
$=1\dfrac{1}{\;3\;}$ (分)
$=1$ 分 $20$ 秒

また，$10≦x≦15$ の範囲において，給水開始 $t$ 分後のことを考えると，
$A$ 側の水面の高さは， $30$ cmのまま，
$B$ 側の水面の高さは， $3t-15$ cm，
水面の高さの差は， $30-(\,3t-15\,)=-3t+45$ (cm)

よって，差が $2$ cm になるのは，

$-3t+45=2$
$t=\dfrac{\;43\;}{3}$
$=14\dfrac{1}{\;3\;}$ (分)
$=14$ 分 $20$ 秒

解答$3\sqrt{\,2\,}$ cm

△ ABC は ∠BAC $=90$° の直角三角形だから，

AD：AE：DE $=$ $1$：$1$：$\sqrt{\,2\,}$
$3$：DE $=$ $1$：$\sqrt{\,2\,}$
DE $\times 1=3\times \sqrt{\,2\,}$
DE $=3\sqrt{\,2\,}$ (cm)

（イ）で必要なので，BC の長さも求めておきます。

△ ADE は ∠DAE $=90$° の直角三角形だから，

AB：AC：BC $=$ $1$：$1$：$\sqrt{\,2\,}$
$\sqrt{\,2\,}$：BC $=$ $1$：$\sqrt{\,2\,}$
BC $\times 1=\sqrt{\,2\,}\times \sqrt{\,2\,}$
BC $=2$ (cm)

解答$-1+2\sqrt{\,2\,}$ (cm)

(ア) から，BC $=2$ (cm) です。
∠A の二等分線と辺 BC の交点を 点 H とすると，
二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分するから，
∠AHB $=90$°，BH $=$ CH $=1$ (cm) です。
また，∠HBA $=45$° だから △ HAB も直角二等辺三角形です。
よって，AH $=1$ (cm) です。

△ADH について考えます。
∠AHD $=90$° だから，△ADH は直角三角形です。
BD $=x$ (cm) とすると，三平方の定理から，

AH$^{2}+$ DH$^{2} =$ AD$^{2}$
$1^{2}+(\,x+1\,)^{2}=3^{2}$
$1+x^{2}+2x+1=9$
$x^{2}+2x-7=0$

$x=\dfrac{\;-2\pm\sqrt{\,2^{2}-4\times 1\times (-7)\,}\;}{2}$
$=\dfrac{\;-2\pm\sqrt{\,32\,}\;}{2}$
$=\dfrac{\;-2\pm4\sqrt{\,2\,}\;}{2}$
$=-1\pm 2\sqrt{\,2\,}$

$x>0$ だから， $x=-1+ 2\sqrt{\,2\,}$

よって，BD $=-1+ 2\sqrt{\,2\,}$ (cm)

別 解

仮定から，∠ACB $=$ ∠AED $=45$°
よって，円周角の定理の逆から，
$4$ 点 A，D，E，C は同一円周上にあります。
その円を円O (中心が点 O) とします。

∠DAE は 弧DE に対する円周角で，∠DAE $=90$° だから，
弧DE に対する中心角は $180$° になり，
弦DE が直径であることが分かります (下の図のようになります)。

半円の弧に対する円周角だから，∠DCE $=90$° で，
△CDE は直角三角形です。
BD $=x$ (cm) とすると，
△ADB ≡ △AEC だから，CE $=x$ (cm) となり，
さらに，これまでのことから，下の図のようになります。

△CDE について三平方の定理から，

CD$^{2}+$ CE$^{2}=$ DE$^{2}$
$(\,x+2\,)^{2}+x^{2}=(3\sqrt{\,2\,})^{2}$
$x^{2}+2x-7=0$
$x=-1\pm 2\sqrt{\,2\,}$

$x>0$ だから， $\,\;x=-1+ 2\sqrt{\,2\,}$
よって，BD $=-1+ 2\sqrt{\,2\,}$ (cm)

解答$14$ 個

図より，3 回目の操作の後の一辺の個数は $7$ 個です。
新たに並べる黒の碁石の数はこの $2$ 倍なので，
$7\times 2=14$ (個)

解答$18$ 個

(ア)から，3 回目の操作の後，新たに黒の碁石を並べると，
横の一片は $7+2=9$ (個) になります。
新たに並べる白の碁石の数はこの $2$ 倍なので，
$9\times 2=18$ (個)

解答$2n+1$ (個)

一辺の個数を下の表に表します。

一辺の個数は，1 回目の操作後が $3$ で，
その後，操作が 1 回終わるごとに $2$ 個ずつ増えていくと考えられます。

上のように考えると，
$n$ 回目の後は 1 回目の後の個数に $2$ 枚を $(\,n-1\,)$ 回足した数になります。
よって，$n$ 回目の操作後の一片の個数は，

$3+2\times (\,n-1\,)=3+2n-2$
$=2n+1$ (枚)

解答$881$ 個

白の碁石の個数を「白の数」，
黒の碁石の個数を「黒の数」と表します。

(3) から，
$n$ 回目の操作後の黒の数は $2n^{2}$ (個)だから，
20 回目の操作後の黒の数は，

$2\times 20^{2}=800$ (個)

(3) から，
$n$ 回目の操作後の黒の数を $A$ 個とすると，
$n$ 回目の操作後の白の数は $(\,1+A+4n\,)$ 個だから，
20 回目の操作後の白の数は，

$1+800+4\times 20=881$ (個)