岐阜県・公立高校入試 2019年度（ 平成31年度 ）解答・解説編

解答$-6$

解答$16a$

解答$2$

値を求める式は，
$x^2-6x+9=(x-3{)}^2$
と変形できるので，この式に $x=\sqrt{2}+3$ を代入します。

解答およそ $420$ 匹

養殖池にいるアユの総数を $x$ 匹とする。

「養殖池にいるアユの総数 ($x$)」に対する「目印をつけたアユの数 ($47$)」の割合
と，
「捕獲したアユの数 ($27$)」に対する「その中の目印のついたアユの数 ($3$) 」の割合
は等しいと推定されるから，

$x:47=27:3$

という比例式が成り立ちます。

$x:47={\cancel{27}}^9:{\cancel{3}}^1$
$x=47\times 9$
$x=423$

一の位を四捨五入して，およそ $420$ 匹だと推定できます。

解答イ，エ

関数 $y=4x+5$ は 1 次関数（ $y$ は $x$ の 1 次関数である）だから，
変化の割合は一定で，グラフは直線になります。

ア について

グラフが点 $(4,5)$ を通るとは，$x=4$ のとき $y=5$ になることです。

$y=4x+5$ に $x=4$ を代入すると，
$y=4\times 4+5=21$
となり，正しくないことが分かります。

イ について

グラフが右上がりの直線であるとは，傾き(＝変化の割合)が常に正の値であることです。

$y=4x+5$ の傾きは $4$ で常に正の値だから，グラフは常に右上がりとなります。
よって正しいといえます。

ウ について

変化の割合は一定で，その値は $4$ です。
よって，$x$ の値が $1$ ずつ増加すると，$y$ の値は $4$ ずつ増加します。
これは，$y$ の増加量は常に $x$ の増加量の $4$ 倍であることを意味します。

$x$ の値が $-2$ から $1$ まで増加するとき，その増加量は

$1-(-2)=3$

です。このとき $y$ の増加量はその $4$ 倍だから，

$3\times 4=12$

となり，正しくないことが分かります。

また，変化の割合 $={\displaystyle \frac{y\mathrm{の}\mathrm{増}\mathrm{加}\mathrm{量}}{x\mathrm{の}\mathrm{増}\mathrm{加}\mathrm{量}}}$ より，

$4={\displaystyle \frac{y\mathrm{の}\mathrm{増}\mathrm{加}\mathrm{量}}{1-(-2)}}$

$y$ の増加量 $=4\times 3=12$

となり，これからも正しくないことが分かります。

エ について

$y=4x+5$ ･･･① のグラフと $y=4x$ ･･･② のグラフは，
傾きが同じなので平行です。

実際のグラフは下図のようになり，各グラフ上の $x$ 座標が同じ点をみると，
①の点の $y$ 座標は，②の点の $y$ 座標より $5$ 大きくなっています。

よって，$y=4x+5$ のグラフは，
$y=4x$ のグラフを，$y$ 軸の正の向きに $5$ だけ平行移動させたものであり，
正しいといえます。

解答

作図の手順

① 下図のように，コンパスで点 A を中心とした円をかき，点 P，Q を決めます。

② 下図のように点 P を中心とした円（弧）と点 Q を中心とした円（弧）をかき，点 R を決めます。

③ 点 A と 点 R を通る直線をかきます。この直線が求める直線です。

解答2

関数 $y=a{x}^2$ のグラフ上に点 A $(-1,2)$ があるから，
$x=-1$，$y=2$ は $y=a{x}^2$ を成り立たせます。

$y=a{x}^2$ に $x=-1$，$y=2$ を代入して，

$2=a\times (-1{)}^2$
$a=2$

解答$y=2x+4$

(1) から，グラフが放物線である関数の式は $y=2x^2$ です。

点 B は $y=2x^2$ 上にあり，$x$ 座標が $2$ だから，$y$ 座標は，

$y=2\times 2^2=8$

よって，点 B の座標は $(2,8)$

直線 $\ell$ は $x$ 軸に対し垂直でない直線だから，1 次関数のグラフです。
直線 $\ell$ の式を $y=ax+b$ と表します。

２ 点 A，B は 直線 $\ell$ 上にあり，変化の様子は下の表のようになります。

表の $-1\leqq x\leqq 2$ の範囲について，

$a={\displaystyle \frac{8-2}{2-(-1)}}=2$

よって，求める式は $y=2x+b$ となり，

さらに，$y=2x+b$ に $x=-1$，$y=2$ を代入して，

$2=2\times (-1)+b$
$2=-2+b$
$b=4$

したがって，求める式は $y=2x+4$ です。

グラフの様子は下の図ようになります。

解答$6$

(2) から， 直線 $\ell$ の式は $y=2x+4$ で，切片は $4$ だから，
直線 $\ell$ と $y$ 軸との交点を点 C とすると，その座標は $(0,4)$ です。

下の図のように △AOB を △AOC と △BOC に分けて考えます。

△AOC は底辺を辺 OC とすると，高さは $1$ になるから，その面積は，

$4\times 1\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=2$

△BOC は底辺を辺 OC とすると，高さは $2$ になるから，その面積は，

$4\times 2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=4$

よって，

△AOB $=$ △AOC $+$ △BOC
$=2+4$
$=6$

別 解

下の図のように点D $(-1,0)$ と点E $(2,0)$ をとり，
△AOB を等積変形した △CDE の面積を求めても良い。

解答${\displaystyle \frac{1}{4}}$

取り出し方のすべての場合を樹形図(下の図)で表します。
全ての場合の数は，$4\times 4=16$ (通り)です。

$2$ 回とも白玉が出る場合は，上の図の★の $4$ 通りです。
その確率は，

${\displaystyle \frac{4}{16}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

解答${\displaystyle \frac{1}{2}}$

取り出し方のすべての場合を樹形図(下の図)で表します。
全ての場合の数は，$4\times 4=16$ (通り)です。

$2$ 回とも同じ色の玉が出る場合は，上の図の★の $8$ 通りです。
その確率は，

${\displaystyle \frac{8}{16}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

解答${\displaystyle \frac{1}{4}}$

取り出し方のすべての場合を樹形図(下の図)で表します。
全ての場合の数は，$4\times 4=16$ (通り)です。

$1$ 回目と $2$ 回目で，色も数字も異なる玉が出る場合は，上の図の★の $4$ 通りです。
その確率は，

${\displaystyle \frac{4}{16}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

解答ア $1.2x$  イ $0.9x$  ウ $25$  エ $30$  オ $30$  カ $27$

A で $1$ 時間に作ることができる P の個数を $x$ 個とすると，
A で $1$ 時間に作ることができる Q の個数は，
$x$ 個より $2$ 割多いから，

$x\times (1+0.2)=1.2x$ (個)ア$1.2x$

です。

B で $1$ 時間に作ることができる Ｐ の個数を $y$ 個とすると，
B で $1$ 時間に作ることができる Q の個数は，
$y$ 個より $1$ 割少ないから，

$y\times (1-0.1)=0.9y$ (個)イ$0.9y$

です。

A と B 両方使って，P だけを作ると $1$ 時間に $55$ 個できるから，

$x+y=55$

A と B 両方使って，Q だけを作ると $1$ 時間に $57$ 個できるから，

$1.2x+0.9y=57$

これらから，次の連立方程式ができます。

$\{\begin{array}{l}x+y=55\cdots \mathrm{①}\\ 1.2x+0.9y=57\cdots \mathrm{②}\end{array}$

② を変形して，$4x+3y=190\cdots {\mathrm{②}}^{\prime }$

$\mathrm{①}\times 4$ $4x+4y=220$
${\mathrm{②}}^{\prime }$$-)4x+3y=190$
$y=30$エ$30$

$y=30$ を $\mathrm{①}$ に代入して，

$x+30=55$
$x=25$ウ$25$

また，

$1.2x=1.2\times 25=30$オ$30$

$0.9y=0.9\times 30=27$カ$27$

方程式 ② の変形

$1.2x+0.9y=57$両辺に $10$ をかける
$12x+9y=570$両辺を $3$ で割る
$4x+3y=190$

解答$2$ 台，$11$ 台

(1) から，Q だけを作る場合，
A $1$ 台で $1$ 時間に作ることができるのは $30$ 個
B $1$ 台で $1$ 時間に作ることができるのは $27$ 個
です。

A を $a$ 台，B を $b$ 台使って，Q だけを $600$ 個作っているとすると，

$30a+27b=600$
$30a=600-27b$
$a=20-{\displaystyle \frac{9}{10}}b$

B だけを使って Q を $1$ 時間に $600$ 個作ることはできないので，
$a$ は $1$ 以上の整数です。

$20-{\displaystyle \frac{9}{10}}b$ が $1$ 以上の整数だから，$b$ は $10$ の倍数です。

$b$ が $10$ のとき，$a=20-{\displaystyle \frac{9}{10}}\times 10=11$

$b$ が $20$ のとき，$a=20-{\displaystyle \frac{9}{10}}\times 20=2$

$b$ が $30$ 以上のとき，$a$ は 負の数になってしまうので不適切です。

よって，A の台数は $2$ 台または $11$ 台です。

解答$3\sqrt{15}$ cm

仮定から，図は右のようになります。

半円の弧に対する円周角だから，
∠ABC $=90$°
よって，△ABC は直角三角形です。

また，OA $=6$ cm で AC は円 O の直径だから，
AC $=12$ cm

△ABC について三平方の定理から，

AB $=\sqrt{\mathsf{A}{\mathsf{C}}^{\mathsf{2}}\mathsf{-}\mathsf{B}{\mathsf{C}}^{\mathsf{2}}}$
$=\sqrt{{12}^2-3^2}$
$=\sqrt{135}$
$=3\sqrt{15}$

解答${\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}$ cm

仮定から，図は右のようになります。
BF $=x$ cm とします。

仮定から BC $//$ FE だから，△ABC について，

$\mathsf{A}\mathsf{E}\mathsf{：}\mathsf{E}\mathsf{C}\mathsf{=}\mathsf{A}\mathsf{F}\mathsf{：}\mathsf{F}\mathsf{B}$
$(12-2)\mathsf{：}2=(3\sqrt{15}-\mathit{x})\mathsf{：}\mathit{x}$
$5\mathsf{：}1=(3\sqrt{15}-\mathit{x})\mathsf{：}\mathit{x}$
$5x=3\sqrt{15}-x$
$6x=3\sqrt{15}$
$x={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}$ (cm)

更に，FE $=y$ cm とすると，

$\mathsf{A}\mathsf{C}\mathsf{：}\mathsf{A}\mathsf{E}\mathsf{=}\mathsf{B}\mathsf{C}\mathsf{：}\mathsf{F}\mathsf{E}$
$12\mathsf{：}(12-2)=3\mathsf{：}\mathit{y}$
$6\mathsf{：}5=3\mathsf{：}\mathit{y}$
$6y=15$
$y={\displaystyle \frac{5}{2}}$ (cm)

解答$9\sqrt{15}$ cm${}^2$

(イ) から，BF $={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}$ cm，FE $={\displaystyle \frac{5}{2}}$ cm

仮定から BC $//$ FE ，(ア) から∠ABC $=90$°
平行線の同位角だから，∠ABC ＝ ∠AFE $=90$°
すなわち ∠EFB $=90$° なので △EBF は直角三角形です。

まず，△EBF の面積を求めます。

△EBF $={\displaystyle \frac{1}{2}}\times$BF$\times$FE

$={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}\times {\displaystyle \frac{5}{2}}$

$={\displaystyle \frac{5\sqrt{15}}{8}}$ (cm${}^2$) $\cdots \mathrm{①}$

さらに，△EBF について三平方の定理から，

EB $=\sqrt{\mathsf{B}{\mathsf{F}}^{\mathsf{2}}\mathsf{+}\mathsf{F}{\mathsf{E}}^{\mathsf{2}}}$

$=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2}$

$=\sqrt{10}$ (cm)

△ACD ∽ △EBF で，その相似比は，
AC：EB $=$ $12$：$\sqrt{10}$

よって，△ACD と △EBF の面積比は，
${12}^2$：$(\sqrt{10}{)}^2=144$：$10$
$=72$：$5$ $\cdots \mathrm{②}$

①，②から，

△ACD：△EBF $=72$：$5$

△ACD：${\displaystyle \frac{5\sqrt{15}}{8}}=72$：$5$

△ACD $\times {\cancel{5}}^1={\displaystyle \frac{{\cancel{5}}^1\sqrt{15}}{\cancel{8}{}^1}}\times {\cancel{72}}^9$

△ACD $=9\sqrt{15}$

解答$9$ 枚

一番下の段のカードの枚数を下の表に表します。

一番下のカードの枚数は，
$1$ 枚から始まり，$2$ 枚ずつ増えています。

4 番目の一番下のカードが $7$ 枚なので，5 番目の一番下は，

$7+2=9$ (枚)

実際に 5 番目の図形をかいてみると下の図になります。

解答$28$ cm

周の長さを下の表に表します。

周の長さは，
$4$ cm から始まり，$6$ cm ずつ増えています。

4 番目の図形の周長さが $22$ cmなので，5 番目の図形の周の長さは，

$22+6=28$ (cm)

実際に 5 番目の図形をかいてみると下の図になります。

解答$2n-1$ (枚)

一番下の段のカードの枚数を下の表に表します。

一番下の段のカードの枚数は，
1 番目の $1$ 枚に，番数が $1$ 増えるごとに $2$ ずつ足されていくと考えられます。

上のように考えると，
$n$ 番目は 1 番目の枚数に $2$ 枚を $(n-1)$ 回足した数になります。
よって，$n$ 番目の図形の一番下のカードの枚数は，

$1+2\times (n-1)=1+2n-2$
$=2n-1$ (枚)

解答$6n-2$ (枚)

周の長さを下の表に表します。

周の長さは，
1 番目の $4$ cm に，番数が $1$ 増えるごとに $6$ cm ずつ足されていくと考えられます。

上のように考えると，
$n$ 番目は 1 番目の長さにに $6$ cm を $(n-1)$ 回足した数になります。
よって，$n$ 番目の図形の 1 番下のカードの枚数は，

$4+6\times (n-1)=4+6n-6$
$=6n-2$ (cm)

解答$n^2$

花子さんの考え方では，
すべての段のカードの枚数が同じ枚数であり，
その枚数は，元の図形の一番上の枚数と一番下の枚数の和になっています。
また，段の数は番数と同じです。

$n$ 番目の図形についても，同じように考えると，

$1$ 段目の枚数は $1$ 枚，$n$ 段目の枚数は $2n-1$ (枚)だから，

各段の枚数は $=1+(2n-1)$ (枚)で，段数は $n$ 段です。

よって，$n$ 番目の図形のカードの総数は，

$\{1+(2n-1)\}\times n\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=n^2$

解答$2n^2-3n+1$

まず，3 番目の図形について下の図のように考えます。

$1$ 枚のカードの周の長さは $4$ cmで，そのカードが $9$ 枚あるから，
周と境界の長さの和を，$4\times 9=36$ (cm) と考えます。
そして， 周と境界の長さの和から周だけの長さの和（ $16$ cm ）を引けば，
境界だけの長さの和（ $20$ cm ）が求められます。
ただしこの場合，
境界は上下左右の隣合ったカードの辺が $2$ つずつ重なっている
ことになります。
よって，境界の長さの和は，$20\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=10$ (cm) となります。

この考え方で $n$ 番目の図形についても考えると，
$n$ 番目の図形のカードの数は $n^2$ 枚，周の長さは $(6n-2)$ cm だから，

$n$ 番目の図形の境界の長さの和 $=\{4\times n^2-(6n-2)\}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}$

$=(4n^2-6n+2)\times {\displaystyle \frac{1}{2}}$

$=2n^2-3n+1$ (cm)