岐阜県・公立高校入試 2019年度（ 平成31年度 ）解答・解説編

解答$-6$

解答$16a$

解答$2$

値を求める式は，
$x^{2}-6x+9=(\;x-3\;)^{2}$
と変形できるので，この式に $x=\sqrt{\,2\,}+3\quad$ を代入します。

解答およそ $420$ 匹

養殖池にいるアユの総数を $x$ 匹とする。

「養殖池にいるアユの総数 ($x$)」に対する「目印をつけたアユの数 ($47$)」の割合
と，
「捕獲したアユの数 ($27$)」に対する「その中の目印のついたアユの数 ($3$) 」の割合
は等しいと推定されるから，

$x:47=27:3$

という比例式が成り立ちます。

$x:47=\color{red}\cancelto{9}{\color{black}27}\color{black}:\color{red}\cancelto{1}{\color{black}3}$
$x=47\times 9$
$x=423$

一の位を四捨五入して，およそ $420$ 匹だと推定できます。

解答イ，エ

関数 $y=4x+5$ は 1 次関数（ $y$ は $x$ の 1 次関数である）だから，
変化の割合は一定で，グラフは直線になります。

ア について

グラフが点 $(\;4,\;5\;)$ を通るとは，$x=4$ のとき $y=5$ になることです。

$y=4x+5$ に $x=4$ を代入すると，
$y=4\times 4+5=21$
となり，正しくないことが分かります。

イ について

グラフが右上がりの直線であるとは，傾き(＝変化の割合)が常に正の値であることです。

$y=4x+5$ の傾きは $4$ で常に正の値だから，グラフは常に右上がりとなります。
よって正しいといえます。

ウ について

変化の割合は一定で，その値は $4$ です。
よって，$x$ の値が $1$ ずつ増加すると，$y$ の値は $4$ ずつ増加します。
これは，$y$ の増加量は常に $x$ の増加量の $4$ 倍であることを意味します。

$x$ の値が $-2$ から $1$ まで増加するとき，その増加量は

$1-(-2)=3$

です。このとき $y$ の増加量はその $4$ 倍だから，

$3\times 4=12$

となり，正しくないことが分かります。

また，変化の割合 $=\dfrac{\;y\,\sfの増加量\;}{x\,\sfの増加量}$ より，

$4=\dfrac{ y\,\sfの増加量 }{1-(-2)}$

$y$ の増加量 $=4 \times 3 = 12$

となり，これからも正しくないことが分かります。

エ について

$y=4x+5$ ･･･① のグラフと $y=4x$ ･･･② のグラフは，
傾きが同じなので平行です。

実際のグラフは下図のようになり，各グラフ上の $x$ 座標が同じ点をみると，
①の点の $y$ 座標は，②の点の $y$ 座標より $5$ 大きくなっています。

よって，$y=4x+5$ のグラフは，
$y=4x$ のグラフを，$y$ 軸の正の向きに $5$ だけ平行移動させたものであり，
正しいといえます。

解答

作図の手順

① 下図のように，コンパスで点 A を中心とした円をかき，点 P，Q を決めます。

② 下図のように点 P を中心とした円（弧）と点 Q を中心とした円（弧）をかき，点 R を決めます。

③ 点 A と 点 R を通る直線をかきます。この直線が求める直線です。

解答2

関数 $y=ax^{2}$ のグラフ上に点 A $(\,-1,\;2\,)$ があるから，
$x=-1$，$y=2$ は $y=ax^{2}$ を成り立たせます。

$y=ax^{2}$ に $x=-1$，$y=2$ を代入して，

$2=a\times (-1)^{2}$
$a=2$

解答$y=2x+4$

(1) から，グラフが放物線である関数の式は $y=2x^{2}$ です。

点 B は $y=2x^{2}$ 上にあり，$x$ 座標が $2$ だから，$y$ 座標は，

$y=2\times 2^{2}=8$

よって，点 B の座標は $ (\;2,\;8\;) $

直線 $\ell$ は $x$ 軸に対し垂直でない直線だから，1 次関数のグラフです。
直線 $\ell$ の式を $y=ax+b$ と表します。

２ 点 A，B は 直線 $\ell$ 上にあり，変化の様子は下の表のようになります。

表の $-1≦x≦2$ の範囲について，

$a=\dfrac{8-2}{\;2-(-1)\;}=2$

よって，求める式は $\;y=2x+b$ となり，

さらに，$y=2x+b$ に $x=-1$，$y=2$ を代入して，

$2=2\times (-1)+b$
$2=-2+b$
$b=4$

したがって，求める式は $y=2x+4$ です。

グラフの様子は下の図ようになります。

解答$6$

(2) から， 直線 $\ell$ の式は $y=2x+4$ で，切片は $4$ だから，
直線 $\ell$ と $y$ 軸との交点を点 C とすると，その座標は $(\,0,\;4\,)$ です。

下の図のように △AOB を △AOC と △BOC に分けて考えます。

△AOC は底辺を辺 OC とすると，高さは $1$ になるから，その面積は，

$4\times 1 \times \dfrac{1}{\;2\;}=2$

△BOC は底辺を辺 OC とすると，高さは $2$ になるから，その面積は，

$4\times 2 \times \dfrac{1}{\;2\;}=4$

よって，

△AOB $=$ △AOC $+$ △BOC
$=2+4$
$=6$

別 解

下の図のように点D $(\,-1,\;0\,)$ と点E $(\,2,\;0\,)$ をとり，
△AOB を等積変形した △CDE の面積を求めても良い。

解答$\dfrac{1}{\;4\;}$

取り出し方のすべての場合を樹形図(下の図)で表します。
全ての場合の数は，$4\times4=16$ (通り)です。

$2$ 回とも白玉が出る場合は，上の図の★の $4$ 通りです。
その確率は，

$\dfrac{4}{\;16\;}=\dfrac{1}{\;4\;}$

解答$\dfrac{1}{\;2\;}$

取り出し方のすべての場合を樹形図(下の図)で表します。
全ての場合の数は，$4\times4=16$ (通り)です。

$2$ 回とも同じ色の玉が出る場合は，上の図の★の $8$ 通りです。
その確率は，

$\dfrac{8}{\;16\;}=\dfrac{1}{\;2\;}$

解答$\dfrac{1}{\;4\;}$

取り出し方のすべての場合を樹形図(下の図)で表します。
全ての場合の数は，$4\times4=16$ (通り)です。

$1$ 回目と $2$ 回目で，色も数字も異なる玉が出る場合は，上の図の★の $4$ 通りです。
その確率は，

$\dfrac{4}{\;16\;}=\dfrac{1}{\;4\;}$

解答ア $1.2x$  イ $0.9x$  ウ $25$  エ $30$  オ $30$  カ $27$

A で $1$ 時間に作ることができる P の個数を $x$ 個とすると，
A で $1$ 時間に作ることができる Q の個数は，
$x$ 個より $2$ 割多いから，

$x \times (\;1+0.2\;)=1.2x$ (個)ア$1.2x$

です。

B で $1$ 時間に作ることができる Ｐ の個数を $y$ 個とすると，
B で $1$ 時間に作ることができる Q の個数は，
$y$ 個より $1$ 割少ないから，

$y \times (\;1-0.1\;)=0.9y$ (個)イ$0.9y$

です。

A と B 両方使って，P だけを作ると $1$ 時間に $55$ 個できるから，

$x+y=55$

A と B 両方使って，Q だけを作ると $1$ 時間に $57$ 個できるから，

$1.2x+0.9y=57$

これらから，次の連立方程式ができます。

$\;\left\{\begin{array}{l}\quad\;\: x + \quad\; y=55\;\cdots①\\ \;1.2x + 0.9y=57\;\cdots②\end{array}\right.\;$

② を変形して，$4x+3y=190 \;\cdots②'$

$①\times 4$ $4x+4y=220$
$②'$$\;-)\;4x+3y=190\;$
$y=30$エ$30$

$y=30$ を $①$ に代入して，

$x+30=55$
$x=25$ウ$25$

また，

$1.2x=1.2\times 25=30$オ$30$

$0.9y=0.9\times 30=27$カ$27$

方程式 ② の変形

$1.2x+0.9y=57$両辺に $10$ をかける
$12x+9y=570$両辺を $3$ で割る
$4x+3y=190$

解答$2$ 台，$11$ 台

(1) から，Q だけを作る場合，
A $1$ 台で $1$ 時間に作ることができるのは $30$ 個
B $1$ 台で $1$ 時間に作ることができるのは $27$ 個
です。

A を $a$ 台，B を $b$ 台使って，Q だけを $600$ 個作っているとすると，

$30a+27b=600$
$30a=600-27b$
$a=20-\dfrac{9}{\;10\;}b$

B だけを使って Q を $1$ 時間に $600$ 個作ることはできないので，
$a$ は $1$ 以上の整数です。

$20-\dfrac{9}{\;10\;}b$ が $1$ 以上の整数だから，$b$ は $10$ の倍数です。

$b$ が $10$ のとき，$a=20-\dfrac{9}{\;10\;}\times 10=11$

$b$ が $20$ のとき，$a=20-\dfrac{9}{\;10\;}\times 20=2$

$b$ が $30$ 以上のとき，$a$ は 負の数になってしまうので不適切です。

よって，A の台数は $2$ 台または $11$ 台です。

解答$3\sqrt{\,15\;}$ cm

仮定から，図は右のようになります。

半円の弧に対する円周角だから，
∠ABC $=90$°
よって，△ABC は直角三角形です。

また，OA $=6$ cm で AC は円 O の直径だから，
AC $=12$ cm

△ABC について三平方の定理から，

AB $=\sqrt{\small\;\sf AC^{2}-BC^{2}\;}$
$=\sqrt{12^{2}-3^{2}}$
$=\sqrt{\;135\;}$
$=3\sqrt{\,15\;}$

解答$\dfrac{\;\sqrt{\,15\,}\;}{2}$ cm

仮定から，図は右のようになります。
BF $=x$ cm とします。

仮定から BC $/\!/$ FE だから，△ABC について，

$\sf AE：EC=AF：FB$
$(\,12-2\,)\sf：\rm 2=(\, 3\sqrt{\,15\;}-\it x\,\rm)\sf：\it x$
$5\sf：\rm 1=(\, 3\sqrt{\,15\;}-\it x\,\rm)\sf：\it x$
$5x=3\sqrt{\,15\;}-x$
$6x=3\sqrt{\,15\;}$
$x=\dfrac{\;\sqrt{\,15\,}\;}{2}$ (cm)

更に，FE $=y$ cm とすると，

$\sf AC：AE=BC：FE$
$12\sf：\rm (\,12-2\,)=3\sf：\it y$
$6\sf：\rm 5=3\sf：\it y$
$6y=15$
$y=\dfrac{5}{\;2\;}$ (cm)

解答$9\sqrt{\,15\,}$ cm$^{2}$

(イ) から，BF $=\dfrac{\;\sqrt{\,15\,}\;}{2}$ cm，FE $=\dfrac{5}{\;2\;}$ cm

仮定から BC $/\!/$ FE ，(ア) から∠ABC $=90$°
平行線の同位角だから，∠ABC ＝ ∠AFE $=90$°
すなわち ∠EFB $=90$° なので △EBF は直角三角形です。

まず，△EBF の面積を求めます。

△EBF $=\dfrac{1}{\;2\;}\times$BF$\times$FE

$=\dfrac{1}{\;2\;}\times \dfrac{\;\sqrt{\,15\,}\;}{2}\times \dfrac{5}{\;2\;} $

$=\dfrac{\;5\sqrt{\,15\,}\;}{8}$ (cm$^{2}$) $\quad\cdots①$

さらに，△EBF について三平方の定理から，

EB $=\sqrt{\small\;\sf BF^{2}+FE^{2}\;}$

$=\sqrt{\left(\dfrac{\;\sqrt{\,15\,}\;}{2} \right)^{2} +\left( \dfrac{5}{\;2\;} \right)^{2}\;}$

$=\sqrt{\;10\;}$ (cm)

△ACD ∽ △EBF で，その相似比は，
AC：EB $=$ $12$：$\sqrt{\,10\,}$

よって，△ACD と △EBF の面積比は，
$12^{2}$：$(\sqrt{\,10\,}\,)^{2}=144$：$10$
$=72$：$5$ $\quad\cdots②$

①，②から，

△ACD：△EBF $=72$：$5$

△ACD：$\dfrac{\;5\sqrt{\,15\,}\;}{8}=72$：$5$

△ACD $\times \color{red}\cancelto{1}{\color{black}5}\color{black}=\dfrac{\;\color{red}\cancelto{1}{\color{black}{5}}\color{black}\sqrt{\,15\,}\;}{\color{blue}\cancel{\color{black}8}\,^{1}} \times \color{blue}\cancelto{9}{\color{black}72}$

△ACD $=9\sqrt{\,15\,}$

解答$9$ 枚

一番下の段のカードの枚数を下の表に表します。

一番下のカードの枚数は，
$1$ 枚から始まり，$2$ 枚ずつ増えています。

4 番目の一番下のカードが $7$ 枚なので，5 番目の一番下は，

$7+2=9$ (枚)

実際に 5 番目の図形をかいてみると下の図になります。

解答$28$ cm

周の長さを下の表に表します。

周の長さは，
$4$ cm から始まり，$6$ cm ずつ増えています。

4 番目の図形の周長さが $22$ cmなので，5 番目の図形の周の長さは，

$22+6=28$ (cm)

実際に 5 番目の図形をかいてみると下の図になります。

解答$2n-1$ (枚)

一番下の段のカードの枚数を下の表に表します。

一番下の段のカードの枚数は，
1 番目の $1$ 枚に，番数が $1$ 増えるごとに $2$ ずつ足されていくと考えられます。

上のように考えると，
$n$ 番目は 1 番目の枚数に $2$ 枚を $(\,n-1\,)$ 回足した数になります。
よって，$n$ 番目の図形の一番下のカードの枚数は，

$1+2\times (\,n-1\,)=1+2n-2$
$=2n-1$ (枚)

解答$6n-2$ (枚)

周の長さを下の表に表します。

周の長さは，
1 番目の $4$ cm に，番数が $1$ 増えるごとに $6$ cm ずつ足されていくと考えられます。

上のように考えると，
$n$ 番目は 1 番目の長さにに $6$ cm を $(\,n-1\,)$ 回足した数になります。
よって，$n$ 番目の図形の 1 番下のカードの枚数は，

$4+6\times (\,n-1\,)=4+6n-6$
$=6n-2$ (cm)

解答$n^{2}$

花子さんの考え方では，
すべての段のカードの枚数が同じ枚数であり，
その枚数は，元の図形の一番上の枚数と一番下の枚数の和になっています。
また，段の数は番数と同じです。

$n$ 番目の図形についても，同じように考えると，

$1$ 段目の枚数は $1$ 枚，$n$ 段目の枚数は $2n-1$ (枚)だから，

各段の枚数は $=1+(\,2n-1\,)$ (枚)で，段数は $n$ 段です。

よって，$n$ 番目の図形のカードの総数は，

$\{\;1+(\,2n-1\,)\}\times n \times \dfrac{1}{\;2\;}=n^{2}$

解答$2n^{2}-3n+1$

まず，3 番目の図形について下の図のように考えます。

$1$ 枚のカードの周の長さは $4$ cmで，そのカードが $9$ 枚あるから，
周と境界の長さの和を，$4\times 9=36$ (cm) と考えます。
そして， 周と境界の長さの和から周だけの長さの和（ $16$ cm ）を引けば，
境界だけの長さの和（ $20$ cm ）が求められます。
ただしこの場合，
境界は上下左右の隣合ったカードの辺が $2$ つずつ重なっている
ことになります。
よって，境界の長さの和は，$20\times\dfrac{1}{\;2\;}=10$ (cm) となります。

この考え方で $n$ 番目の図形についても考えると，
$n$ 番目の図形のカードの数は $n^{2}$ 枚，周の長さは $(\,6n-2\,)$ cm だから，

$n$ 番目の図形の境界の長さの和 $=\{4\times n^{2}-(\,6n-2\,)\}\times \dfrac{1}{\;2\;}$

$=(\,4n^{2}-6n+2\,)\times \dfrac{1}{\;2\;}$

$=2n^{2}-3n+1$ (cm)