30305中3・2次方程式・計算問題5【解】

2次方程式

計算問題の解法5

計算問題

解 答 編

2 次方程式の解法 ⑤

2 次方程式$\;\;ax^{2}+bx+c=0\;\;$の左辺が因数分解できるとき,

$AB=0\quad$ならば$\quad A=0\;$または$\;B=0$

を利用して解くことができる。


例1$\;\;\begin{eqnarray}x^{2}-3x=0\end{eqnarray}$ の解法

$\begin{eqnarray}x^{2}-3x&=&0\\[2pt]x(x-3)&=&0\;\cdots①\end{eqnarray}$
$x=0\;$ または $\;x=3$
よって,$x=0\;$,$\;x=3$

※ ①$\;\;x$ と $x-3$ をかけて $0$ だから,
$x=0$ または $x-3=0$ である。


例2$\;\;\begin{eqnarray}x^{2}-5x+6=0\end{eqnarray}$ の変形

$\begin{eqnarray}x^{2}-5x+6&=&0\\[2pt](x-3)(x-2)&=&0\;\cdots①\end{eqnarray}$
$x-3=0\;$ または $\;x-2=0$
よって,$x=3\;$,$\;x=2$

※ ①$\;\;x-3$ と $x-2$ をかけて $0$ だから,
$x-3=0$ または $x-2=0$ である。


例3$\;\;\begin{eqnarray}x^{2}-8x+16=0\end{eqnarray}$ の変形

$\begin{eqnarray}x^{2}-8x+16&=&0\\[2pt](x-4)^{2}&=&0\;\cdots①\\[2pt]x-4&=&0\\x&=&4\end{eqnarray}$

※ ①$\;\;x-4$ と $x-4$ をかけて $0$ だから,$x-4=0$ である。


(1) $\;\begin{eqnarray}x^{2}-6x=0\;\end{eqnarray}$【解法↑】

$\begin{eqnarray}x^{2}-6x&=&0\\[3pt]x(x-6)&=&0\end{eqnarray}$

$x=0\;$ または $\;x-6=0$
よって,$x=0,\;x=6$

$\\;\;\;x=0\;,\;x=6$


(2) $\;\begin{eqnarray}3x^{2}+5x=0\;\end{eqnarray}$【解法↑】

$\begin{eqnarray}3x^{2}+5x&=&0\\[3pt]x(3x+5)&=&0\end{eqnarray}$

$x=0\;$ または $\;3x+5=0$
よって,$x=0,\;x=-\dfrac{5}{3}$

$\;\;\;x=0\;,\;x=-\dfrac{5}{3}$


(3) $\;\begin{eqnarray}x^{2}-6x+8=0\;\end{eqnarray}$【解法↑】

$\begin{eqnarray}x^{2}-6x+8&=&0\\[3pt](x-4)(x-2)&=&0\end{eqnarray}$

$x-4=0\;$ または $\;x-2=0$
よって,$x=4,\;x=2$

$\;\;\;x=4,\;x=2$


(4) $\;\begin{eqnarray}x^{2}+9x+18=0\;\end{eqnarray}$【解法↑】

$\begin{eqnarray}x^{2}+9x+18&=&0\\[3pt](x+3)(x+6)&=&0\end{eqnarray}$

$x+3=0\;$ または $\;x+6=0$
よって,$x=-3,\;x=-6$

$\;\;\;x=-3,\;x=-6$


(5) $\;\begin{eqnarray}x^{2}+x-12=0\;\end{eqnarray}$【解法↑】

$\begin{eqnarray}x^{2}+x-12&=&0\\[3pt](x-3)(x+4)&=&0\end{eqnarray}$

$x-3=0\;$ または $\;x+4=0$
よって,$x=3,\;x=-4$

$\;\; x=3,\;x=-4$


(6) $\;\begin{eqnarray}x^{2}+12x+36=0\;\end{eqnarray}$【解法↑】

$\begin{eqnarray}x^{2}+12x+36&=&0\\[3pt](x+6)^{2}&=&0\\[3pt]x+6&=&0\\[3pt]x&=&-6\end{eqnarray}$

$\;\; x=-6$


(7) $\;\begin{eqnarray}x^{2}-20x+100=0\;\end{eqnarray}$【解法↑】

$\begin{eqnarray}x^{2}-20x+100&=&0\\[3pt](x-10)^{2}&=&0\\[3pt]x-10&=&0\\[3pt]x&=&10\end{eqnarray}$

$\;\; x=10$


(8) $\;\begin{eqnarray}4x^{2}-12x+9=0\;\end{eqnarray}$【解法↑】

$\begin{eqnarray}4x^{2}-12x+9&=&0\\[3pt](2x-3)^{2}&=&0\\[3pt]2x-3&=&0\\[3pt]x&=&\frac{3}{2}\end{eqnarray}$

$\;\; x=\dfrac{3}{2}$