30303中３・２次方程式・計算問題3【解】
banno2次方程式
計算問題の解法３
計算問題
解 答 編
２ 次方程式の解法 ③
2 次方程式$\;\;ax^{2}+bx+c=0\;\;$は，
$(x+m)^{2}=k\;\;$の形に変形して解く⇒ 解法②
例１$\;\;\begin{eqnarray}x^{2}+6x-5=0\end{eqnarray}$ の変形
$\qquad\qquad\begin{eqnarray}x^{2}+6x-5&=&0\\[2pt]x^{2}+6x&=&5\,\;\qquad\cdots①\\[2pt]x^{2}+6x+3^{2}&=&5+3^{2}\;\cdots②\\[2pt](x+3)^{2}&=&14\end{eqnarray}$
※ ①→② 項 $6x$ の係数の半分の $2$ 乗，すなわち$3^{2}$を両辺に
加えると，左辺を $(x+m)^{2}$ の形に因数分解できる
例２$\;\;\begin{eqnarray}3x^{2}+5x+1=0\end{eqnarray}$ の変形
$\,\;\quad\quad\begin{eqnarray}3x^{2}+5x+1&=&0\\[2pt]3x^{2}+5x&=&-1\\[2pt]x^{2}+\frac{5}{3}x&=&-\frac{1}{3}\qquad\qquad\cdots①\\[2pt]x^{2}+\frac{5}{3}x+\Bigl(\frac{5}{6}\Bigr)^{2}&=&-\frac{1}{3}+\Bigl(\frac{5}{6}\Bigr)^{2}\;\cdots②\\[2pt]\Bigl(x+\frac{5}{6}\Bigr)^{2}&=&\frac{13}{36}\end{eqnarray}$
※ ①→② 項 $\frac{5}{3}x$ の係数の半分の $2$ 乗，すなわち$(\frac{5}{6})^{2}$を両辺に
加えると，左辺を $(x+m)^{2}$ の形に因数分解できる
(1) $\;\begin{eqnarray}x^{2}+4x+1=0\;\end{eqnarray}$【解法↑】」
$\begin{eqnarray}x^{2}+4x+1&=&0\\[3pt]x^{2}+4x&=&-1\\[3pt]x^{2}+4x+2^{2}&=&-1+2^{2}\\[3pt](x+2)^{2}&=&3\\[3pt]x+2&=&\pm\sqrt{3}\\[3pt]x&=&-2\pm\sqrt{3}\end{eqnarray}$
答$\\;\;\;x=-2\pm\sqrt{3}$
(2) $\;\begin{eqnarray}x^{2}-8x+8=0\;\end{eqnarray}$【解法↑】
$\begin{eqnarray}x^{2}-8x+8&=&0\\[3pt]x^{2}-8x&=&-8\\[3pt]x^{2}-8x+(-4)^{2}&=&-8+(-4)^{2}\\[3pt](x-4)^{2}&=&8\\[3pt]x-4&=&\pm\sqrt{8}\\[3pt]x&=&4\pm2\sqrt{2}\end{eqnarray}$
答$\;\;\;x=4\pm2\sqrt{2}$
(3) $\;\begin{eqnarray}x^{2}+3x-5=0\;\end{eqnarray}$【解法↑】
$\begin{eqnarray}x^{2}+3x-5&=&0\\[3pt]x^{2}+3x&=&5\\[3pt]x^{2}+3x+\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{2}&=&5+\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{2}\\[3pt]\Bigl(x+\frac{3}{2}\Bigr)^{2}&=&\frac{29}{4}\\[3pt]x+\frac{3}{2}&=&\pm\frac{\sqrt{29}}{2}\\[3pt]x&=&-\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{29}}{2}\\[3pt]x&=&\frac{-3\pm\sqrt{29}}{2}\end{eqnarray}$
答$\;\;\;x=\dfrac{-3\pm\sqrt{29}}{2}$
(4) $\;\begin{eqnarray}2x^{2}-5x+1=0\;\end{eqnarray}$【解法↑】
$\begin{eqnarray}2x^{2}-5x+1&=&0\\2x^{2}-5x&=&-1\\[3pt]x^{2}-\frac{5}{2}x&=&-\frac{1}{2}\\[3pt]x^{2}-\frac{5}{2}x+\Bigl(-\frac{5}{4}\Bigr)^{2}&=&-\frac{1}{2}+\Bigl(-\frac{5}{4}\Bigr)^{2}\\[3pt]\Bigl(x-\frac{5}{4}\Bigr)^{2}&=&\frac{17}{16}\\[3pt]x-\frac{5}{4}&=&\pm\frac{\sqrt{17}}{4}\\[3pt]x&=&\frac{5}{4}\pm\frac{\sqrt{17}}{4}\\[3pt]&=&\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}\end{eqnarray}$
答$\;\;\;x=\dfrac{5\pm\sqrt{17}}{4} $
(5) $\;\begin{eqnarray}3x^{2}+7x+3=0\;\end{eqnarray}$【解法↑】
$\begin{eqnarray}3x^{2}+7x+3&=&0\\[3pt]3x^{2}+7x&=&-3\\[3pt]x^{2}+\frac{7}{3}x&=&-1\\[3pt]x^{2}+\frac{7}{3}x+\Bigl(\frac{7}{6}\Bigr)^{2}&=&-1+\Bigl(\frac{7}{6}\Bigr)^{2}\\[3pt]\Bigl(x+\frac{7}{6}\Bigr)^{2}&=&\frac{13}{36}\\[5pt]x+\frac{7}{6}&=&\pm\frac{\sqrt{13}}{6}\\[3pt]x&=&-\frac{7}{6}\pm\frac{\sqrt{13}}{6}\\&=&\frac{-7\pm\sqrt{13}}{6}\end{eqnarray}$
答 $\;\; x=\dfrac{-7\pm\sqrt{13}}{6} $
