30206中３・平方根・分母の有理化【解】
banno平方根
分母の有理化
計算問題
解 答 編
分母の有理化
分母に根号がある数を，分母に根号を含まない形に変えることを，
分母を有理化するという。
$\;\;\begin{eqnarray}a>0\end{eqnarray}\;\;$のとき$\qquad\qquad\qquad\qquad$
$\;\;\begin{eqnarray}\frac{b}{\;\sqrt{a}\;}=\frac{\,\;\;\;b\;\,\color{red}{\times\sqrt{a}}\;}{\;\sqrt{a}\;\color{red}{\times\sqrt{a}}\;}=\frac{\;b\sqrt{a}\;}{a}\end{eqnarray}\;\;$
例１$\;\;\begin{eqnarray}\frac{2}{\;\sqrt{5}\;}=\frac{\;\;2\;\times\sqrt{5}}{\;\sqrt{5}\times\sqrt{5}\;}=\frac{\;2\sqrt{5}\;}{5}\end{eqnarray}$
※ 分子と分母に $\sqrt{5}$ をかけます。
例２$\;\;\begin{eqnarray}\frac{3}{\;5\sqrt{2}\;}=\frac{\,\;\;3\,\;\times\sqrt{2}}{\;5\sqrt{2}\times\sqrt{2}\;}=\frac{\;3\sqrt{2}\;}{10}\end{eqnarray}$
※ 分子と分母に $5\sqrt{2}$ ではなく， $\sqrt{2}$ をかけます。
例３$\;\;\begin{eqnarray}\sqrt{\frac{7}{\;8\;}}=\frac{\sqrt{7}}{\;2\sqrt{2}\;}=\frac{\;\sqrt{7}\,\times\sqrt{2}}{\;2\sqrt{2}\times\sqrt{2}\;}=\frac{\;\sqrt{14}\;}{4}\end{eqnarray}$
※ 分母の $\sqrt{8}$ を変形してから，分子と分母に $\sqrt{2}$ をかけます。
$\begin{eqnarray}(1)\;\;\frac{3}{\sqrt{7}}&=&\frac{\;\;3\;\times\sqrt{7}}{\sqrt{7}\times\sqrt{7}}\\[3pt]&=&\frac{\;3\sqrt{7}\;}{7}\\\end{eqnarray}\;\;$
答 $\;\;\dfrac{\;3\sqrt{7}\;}{7}$
$\begin{eqnarray}(2)\;\;\frac{10}{\;\sqrt{5}\;}&=&\frac{\;\;10\times\sqrt{5}}{\;\sqrt{5}\times\sqrt{5}\;}\\[3pt]&=&\frac{\;\color{red}{\cancel{\color{black}{10}}}\color{black}{\sqrt{5}}\;}{\color{red}{\cancel{\color{black}{5}}}}\\[3pt]&=&2\sqrt{5}\end{eqnarray}\;\;$
答 $\;\;2\sqrt{5}$
$\begin{eqnarray}(3)\;\;\frac{6}{\sqrt{24}}&=&\frac{6}{2\sqrt{6}}\\[3pt]&=&\frac{\;\;6\;\;\times\sqrt{6}}{\;2\sqrt{6}\times\sqrt{6}\;}\\[3pt]&=&\frac{\color{red}{\cancel{\color{black}{6}}}\color{black}{\sqrt{6}}}{\;2\times\color{red}{\cancel{\color{black}{6}}}\;}\\[3pt]&=&\frac{\;\sqrt{6}\;}{2}\end{eqnarray}\;\;$
答 $\;\;\dfrac{\;\sqrt{6}\;}{2}$
$\begin{eqnarray}(4)\;\;\sqrt{\frac{27}{28}}&=&\frac{\;\sqrt{27}\;}{\sqrt{28}}\\[3pt]&=&\frac{\;3\sqrt{3}\;}{2\sqrt{7}}\\[3pt]&=&\frac{\;3\sqrt{3}\times\sqrt{7}\;}{2\sqrt{7}\times\sqrt{7}}\\[3pt]&=&\frac{\;3\sqrt{21}\;}{14}\end{eqnarray}\;\;$
答 $\;\;\dfrac{\;3\sqrt{21}\;}{14}$
$\begin{eqnarray}(5)\;\;-\frac{14}{\sqrt{175}}&=&-\frac{14}{5\sqrt{7}}\\[3pt]&=&-\frac{\;\;14\;\times \sqrt{7}}{\;5\sqrt{7}\times\sqrt{7}\;}\\[3pt]&=&-\frac{\color{red}{\cancel{\color{black}{14}}}\color{black}{\sqrt{7}}}{\;5\times \color{red}{\cancel{\color{black}{7}}}\;}\\[3pt]&=&-\frac{\;2\sqrt{7}\;}{5}\end{eqnarray}\;\;$
答 $\;\;-\dfrac{\;2\sqrt{7}\;}{5}$
